Aufgabe 1813
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Funktionen
Gegeben sind vier Funktionsgleichungen der reellen Funktionen f1 bis f4 mit \(a,b \in {{\Bbb R}^ + }{\text{ und }}b < 1\) und sechs Listen mit Eigenschaften von Funktionen.
- Liste A:
- kein Monotoniewechsel
- konstante Steigung
- kein Krümmungswechsel
- Liste B:
- genau eine lokale Extremstelle x0
- symmetrisch zur Geraden x = x0
- maximal zwei Nullstellen
- Liste C:
- unendlich viele lokale Extremstellen
- unendlich viele Wendestellen
- keine Asymptote
- Liste D:
- nur für x ∈ [0; ∞) definierbar
- überall rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt)
- keine lokalen Extrem- oder Wendestellen
- Liste E:
- keine lokale Extremstelle
- genau eine Nullstelle
- genau eine Wendestelle
- Liste F:
- kein Monotoniewechsel
- die x-Achse ist Asymptote
- kein Krümmungswechsel
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den vier Funktionsgleichungen jeweils die zugehörige Liste (aus A bis F) zu.
- Funktionsgleichung 1: \({f_1}\left( x \right) = a \cdot {b^x}\)
- Funktionsgleichung 2: \({f_2}\left( x \right) = a \cdot x + b\)
- Funktionsgleichung 3: \({f_3}\left( x \right) = a \cdot \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
- Funktionsgleichung 4: \({f_4}\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b\)
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir erstellen jeweils eine möglichst einfache Wertetabelle und skizzieren den Verlauf der Funktion
- Funktionsgleichung 1: Es handelt sich um eine Exponentialfunktion;
- Liste A ist falsch, weil die Exponentialfunktion keine konstante Steigung hat
- Liste B ist falsch, weil die Exponentialfunktion keine Extremstelle hat
- Liste C ist falsch, weil die Exponentialfunktion keine unendlich vielen Extremstellen hat
- Liste D ist falsch, weil die Exponentialfunktion auch für negative x definierbar ist
- Liste E ist falsch, weil die Exponentialfunktion keine Wendestelle hat
- Liste F ist richtig, weil alle 3 Eigenschaften auf die Exponentialfunktion zutreffen
- Funktionsgleichung 2: Es handelt sich um eine lineare Funktion
- Liste A ist richtig, weil alle 3 Eigenschaften auf eine lineare Funktion zutreffen
- Liste A ist richtig, weil alle 3 Eigenschaften auf eine lineare Funktion zutreffen
- Funktionsgleichung 3: Es handelt sich um eine periodische Sinusfunktion
- Liste A ist falsch, weil die periodische Sinusfunktion keine konstante Steigung hat
- Liste B ist falsch, weil die periodische Sinusfunktion unendlich viele Nullstellen haben kann
- Liste C ist richtig, weil alle 3 Eigenschaften auf die periodische Sinusfunktion zutreffen
- Funktionsgleichung 4: Es handelt sich um eine Polynomfunktion 3. Grades. Eine solche Funktion hat einen s-förmigen Graph, 1, 2 oder 3 Nullstellen, 0 oder 2 Extremstellen und 1 Wendestelle.
- Liste A ist falsch, weil die Polynomfunktion 3. Grades keine konstante Steigung hat
- Liste B ist falsch, weil die Polynomfunktion 3. Grades entweder 0 oder 2 Extremstellen hat
- Liste C ist falsch, weil die Polynomfunktion 3. Grades entweder 0 oder 2 Extremstellen hat
- Liste D ist falsch, weil die Polynomfunktion 3. Grades auch für negative x definierbar ist
- Liste E ist richtig, weil alle 3 Eigenschaften auf die Polynomfunktion 3. Grades zutreffen
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Gleichung 1 = Liste F
- Gleichung 2= Liste A
- Gleichung 3= Liste C
- Gleichung 4= Liste E
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn jeder der vier Funktionsgleichungen ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Buchstabe zugeordnet ist. Bei zwei oder drei richtigen Zuordnungen ist ein halber Punkt zu geben.