Aufgabe 1815
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Polynomfunktion
Zwischen dem Grad einer Polynomfunktion und der Anzahl der reellen Nullstellen, der lokalen Extremstellen und der Wendestellen besteht ein Zusammenhang.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Jede Polynomfunktion _____1_____ hat _____2_____ .
- Satzteil 1.1: 4. Grades
- Satzteil 1.2: 5. Grades
- Satzteil 1.3: 6. Grades
- Satzteil 2.1: mindestens zwei verschiedene lokale Extremstellen
- Satzteil 2.2: mindestens zwei verschiedene reelle Nullstellen
- Satzteil 2.3: mindestens eine Wendestelle
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Mit Hilfe von Geogebra können wir eine Skizze mit je einer typischen Funktion vom 4., 5. bzw. 6. Grad wie folgt anfertigen
Wir sehen, dass keine der 3 Funktionen zwei lokale Extremstellen haben. Dh die Forderung nach „mindestens 2 lokalen Extremstellen“ wird von keiner der 3 Funktionen erfüllt.
Wir sehen, dass keine der 3 Funktionen zwei reelle Nullstellen hat. Dh die Forderung nach „mindestens 2 reellen Nullstellen“ wird von keiner der 3 Funktionen erfüllt.
Wir sehen, dass nur die Funktion vom 5. Grad eine Wendestelle hat. Egal wie die Funktionsgleichung aussieht, die ungerade „5“ als Exponent bewirkt, dass bei positiven Argument x die Funktionswerte positiv und bei negativen Argument x die Funktionswerte negativ sind. Dazwischen muss eine Wendestelle existieren.
Jede Polynomfunktion 5. Grades hat mindestens eine Wendestelle .
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Jede Polynomfunktion 5. Grades hat mindestens eine Wendestelle .
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist.