Aufgabe 1863
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zwei quadratische Funktionen
Eine bestimmte Querschnittsfläche wird von den Graphen der quadratischen Funktionen f1 und f2 sowie den Geraden x = –4 und x = 4 begrenzt. Es gilt:
\(\eqalign{ & {f_1}:\left[ { - 4;4} \right] \to {\Bbb R},x \to a \cdot {x^2} + b{\text{ mit }}a,b \in {\Bbb R} \cr & {f_2}:\left[ { - 4;4} \right] \to {\Bbb R},x \to c \cdot {x^2} + d{\text{ mit c}},d \in {\Bbb R} \cr} \)
Der Sachverhalt wird durch die nachstehende Abbildung veranschaulicht.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie „<“, „=“ oder „>“ in (1) und (2) jeweils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
- Aussage 1: a c
- Aussage 2: b d
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
Die Koeffizienten a bzw. c sind die Koeffizienten des quadratischen Glieds.
- Ist dieser Koeffizient positiv, so ist die Parabel nach oben offen. D.h. c muss positiv sein: c>0
- Ist dieser Koeffizient negativ, so ist die Parabel nach unten offen. D.h. a muss negativ sein: a<0
- Somit: a<0<c oder a<c
Das konstante Glied b bzw. d verschiebt den Scheitel der Parabel in Richtung der y-Achse.
- b=3
- d=-3
- Somit b>d
Die gesuchten Lösungen lauten:
- Aussage 1: a < c
- Aussage 2: b > d
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: a < c
- Aussage 2: b > d
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Einsetzen der beiden richtigen Ungleichheitszeichen, ein halber Punkt für nur ein richtiges Ungleichheitszeichen.