Aufgabe 11264
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Münzwurf
Ein Zufallsexperiment besteht aus dem mehrmaligen Werfen einer Münze. Die Münze zeigt nach einem Wurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ zeigt, ist bei jedem Wurf genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Zahl“ zeigt. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Die Münze wird so oft geworfen, bis sie zum zweiten Mal „Kopf“ oder zum zweiten Mal „Zahl“ zeigt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der dafür benötigten Münzwürfe.
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X = 3).
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Die Zufallsvariable X=3 bedeutet, dass 3 mal gewürfelt werden muss. Lt. Angabe muss nach zwei-mal „Kopf“ oder zwei-mal „Zahl“ der Versuch abgebrochen werden.
- Mit einem Wurf kann das Ziel zweimal „Kopf“ oder zweimal „Zahl“ zu werfen unmöglich erfüllt werden.
- Mit zwei Würfen kann das Ereignis auf 2 Arten eintreten.
- K+K
- Z+Z
- Das entspricht aber nicht der Aufgabenstellung, die wegen X=3 drei Würfe vorschreibt.
- Mit drei Würfen können 23=8 Ereignisse eintreten:
- Z+Z+K … wird lt. Angabe nach dem 2. Wurf abgebrochen
- Z+Z+Z … wird lt. Angabe nach dem 2. Wurf abgebrochen
- Z+K+Z … 1. Treffer
- Z+K+K … 2. Treffer
- K+K+Z … wird lt. Angabe nach dem 2. Wurf abgebrochen
- K+K+K … wird lt. Angabe nach dem 2. Wurf abgebrochen
- K+Z+K … 3. Treffer
- K+Z+Z … 4. Treffer
\(P(X = 3) = \dfrac{4}{8} = 0,5\)
Alternativ:
- Mit drei Würfen können 4 gewünschte Ereignisse eintreten:
- Z+K+Z … 1. Treffer mit der Wahrscheinlichkeit \(0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5\)
- Z+K+K … 2. Treffer mit der Wahrscheinlichkeit \(0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5\)
- K+Z+K … 3. Treffer mit der Wahrscheinlichkeit \(0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5\)
- K+Z+Z … 4. Treffer mit der Wahrscheinlichkeit \(0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5\)
\(P(X = 3) = \left( {0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5} \right) \cdot 4 = {0,5^3} \cdot 4 = 0,5\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P(X = 3) = 0,5\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.