Aufgabe 1239
AHS - 1_239 & Lehrstoff: WS 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wähleranteil
Bei einer Stichprobe von n = 500 Personen gaben 120 Personen an, sie würden die Partei A wählen.
Aufgabenstellung
Geben Sie das 95-%-Konfidenzintervall KI für den Wähleranteil der Partei A an!
Lösungsweg
Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau \(\gamma\)) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. Für diejenigen Werte p, in deren das \(\gamma\) Konfidenzintervall der Wert h liegt, gilt:
\({p_{1,2}} = \left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
mit:
\(h = \dfrac{k}{n} = \dfrac{{120}}{{500}} = 0,24\) | relative Häufigkeit in einer Stichprobe |
p | unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit |
\(\gamma=0,95\) | Konfidenz- / Vertrauensniveau |
n=500 | Umfang der Stichprobe |
z | Ist aus einer der beiden Tabellen der Standardnormalverteilung abzulesen |
Für das 95%-Konfidenzintervall gilt:
\(\begin{array}{l}
2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = \gamma = 0,95\\
\Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975
\end{array}\)
oder
\(\begin{array}{l}
D\left( z \right) = \gamma \\
D\left( z \right) = 0,95
\end{array}\)
In beiden Fällen können wir aus der jeweiligen Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen: \(z\left( {0,975} \right) = 1,96\) bzw \(0,9500 = D(1,96)\)
Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
\(\begin{array}{l}
\left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} = 0,24 \pm 1,96 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,24 \cdot 0,76}}{{500}}} = 0,24 \pm 0,0374\\
{p_1} = 0,2026\\
{p_2} = 0,2774
\end{array}\)
Das gesuchte Konfidenzintervall lautet somit:
\(\left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = \left[ {0,203;\,\,0,277} \right] = 0,24 \pm 0,0374\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(KI = \left[ {0,203;\,\,0,277} \right]\)
bzw.:
\(KI = 0,24 \pm 0,0374\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe ist richtig gelöst, wenn ein dem Lösungsintervall entsprechendes Konfidenzintervall angegeben ist.
Lösungsintervall für die untere Grenze: [0,20; 0,21]
Lösungsintervall für die obere Grenze: [0,27; 0,28]