Aufgabe 1321
AHS - 1_321 & Lehrstoff: WS 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Essgewohnheiten
Um die Essgewohnheiten von Jugendlichen zu untersuchen, wurden 400 Jugendliche eines Bezirks zufällig ausgewählt und befragt. Dabei gaben 240 der befragten Jugendlichen an, täglich zu frühstucken.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie aufgrund des in der Umfrage erhobenen Stichprobenergebnisses ein 99-%-Konfidenzintervall für den tatsachlichen (relativen) Anteil p derjenigen Jugendlichen dieses Bezirks, die täglich frühstucken!
Lösungsweg
Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau \(\gamma\)) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. Für diejenigen Werte p, in deren das \(\gamma\) Konfidenzintervall der Wert h liegt, gilt:
\({p_{1,2}} = \left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
mit:
\(h = \dfrac{k}{n} = \dfrac{{240}}{{400}} = 0,6\) | relative Häufigkeit in einer Stichprobe |
p | unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit |
\(\gamma=0,99\) | Konfidenz- / Vertrauensniveau |
n=400 | Umfang der Stichprobe |
z | Ist aus einer der beiden Tabellen der Standardnormalverteilung abzulesen |
Für das 99%-Konfidenzintervall gilt:
\(\begin{array}{l} 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = \gamma = 0,99\\ \Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,99}}{2} = 0,995 \end{array}\)
oder
\(\begin{array}{l} D\left( z \right) = \gamma \\ D\left( z \right) = 0,99 \end{array}\)
In beiden Fällen können wir aus der jeweiligen Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen: \(z\left( {0,995} \right) = 2,58\) bzw \(0,9900 = D(2,58)\)
Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
\(\begin{array}{l}
\left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = {p_{1,2}} = 0,6 \pm 2,58 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,6 \cdot 0,4}}{{400}}} \\
{p_1} \approx 0,536\\
{p_2} \approx 0,664
\end{array}\)
Das gesuchte Konfidenzintervall lautet somit:
\( \left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = \left[ {0,536;0,664} \right]{\rm{ bzw}}{\rm{. 0}}{\rm{,6}} \pm {\rm{0}}{\rm{,064}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Das 99% Konfidenzintervall lautet:
\( \left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = \left[ {0,536;0,664} \right]{\rm{ bzw}}{\rm{. 0}}{\rm{,6}} \pm {\rm{0}}{\rm{,064}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn das Konfidenzintervall richtig berechnet wurde.
Toleranzintervall für die untere Grenze: [0,53; 0,54]
Toleranzintervall für die obere Grenze: [0,66; 0,67]