Aufgabe 1350
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialverteilte Zufallsvariable
In einer Urne befinden sich sieben weiße und drei rote Kugeln, die gleich groß und durch Tasten nicht unterscheidbar sind. Jemand nimmt, ohne hinzusehen, Kugeln aus der Urne.
Aufgabenstellung:
In welchen der folgenden Falle ist die Zufallsvariable X binomialverteilt? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: X beschreibt die Anzahl der roten Kugeln bei dreimaligem Ziehen, wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 2: X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei viermaligem Ziehen, wenn die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
- Aussage 3: X beschreibt die Anzahl der weißen Kugeln bei fünfmaligem Ziehen, wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 4: X beschreibt die Anzahl der Züge, bis die erste rote Kugel gezogen wird, wenn jede entnommene Kugel wieder zurückgelegt wird.
- Aussage 5: X beschreibt die Anzahl der Züge, bis alle weißen Kugeln gezogen wurden, wenn die entnommenen Kugeln nicht zurückgelegt werden.
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Misserfolg / Erfolg. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) n Mal gleich und unverändert wiederholt. Die Grundgesamtheit ändert sich also im Laufe der Wiederholungen nicht, d.h. es handelt sich um ein „Ziehen mit Zurücklegen“.
- Aussage 1: Richtig, weil es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur 2 Werte annimmt: rot / nicht rot und die Grundgesamtheit auf Grund des Zurücklegens unverändert bleibt. n=10, p=0,3, k=3
- Aussage 2: Falsch, weil sich bei einer Binomialverteilung die Grundgesamtheit nicht ändern darf, dh es ist erforderlich, dass gezogene Kugeln wieder zurückgelegt werden.
- Aussage 3: Richtig, weil es sich um eine diskrete Verteilung handelt, deren Zufallsvariable X nur 2 Werte annimmt: weiß / nicht weiß und die Grundgesamtheit auf Grund des Zurücklegens unverändert bleibt. n=10, p=0,7, k=5
- Aussage 4: Falsch, weil eine Binomialverteilung nicht die Anzahl von Zügen ermittelt, sondern die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es k Treffer gibt, wenn unter bestimmten Voraussetzungen gezogen wird.
- Aussage 5: Falsch, weil eine Binomialverteilung nicht die Anzahl von Zügen ermittelt, sondern die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es k Treffer gibt, wenn unter bestimmten Voraussetzungen gezogen wird.
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.