Aufgabe 1352
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Betrachtet wird der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right)\).
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aufgabenstellungen an, die mit der Rechnung \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right) = 15\) gelöst werden können.
- Aussage 1: Gegeben sind sechs verschiedene Punkte einer Ebene, von denen nie mehr als zwei auf einer Geraden liegen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, zwei Punkte auszuwählen, um jeweils eine Gerade durch zulegen?
- Aussage 2: An einem Wettrennen nehmen sechs Personen teil. Wie viele Möglichkeiten gibt es für den Zieleinlauf, wenn nur die ersten beiden Plätze relevant sind?
- Aussage 3: Von sechs Kugeln sind vier rot und zwei blau. Sie unterscheiden sich nur durch ihre Farbe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen?
- Aussage 4: Sechs Mädchen einer Schulklasse kandidieren für das Amt der Klassensprecherin. Die Siegerin der Wahl soll Klassensprecherin werden, die Zweitplatzierte deren Stellvertreterin. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Vergabe der beiden Ämter?
- Aussage 5: Wie viele sechs stellige Zahlen können aus den Ziffern 6 und 2 gebildet werden?
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen, wobei es auf die Reihenfolge, in der die ausgewählten Elemente gezogen werden, nicht ankommt. \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 2 \end{array}} \right) = 15\)
- Aussage 1: Richtig, weil es n=6 Möglichkeiten gibt, von denen k=2 ausgewählt werden. D.h. man könnte 15 verschiedene Geraden darstellen
- Aussage 2: Falsch, weil der Binomialkoeffizient nur aussagt, wie viele Möglichkeiten es gibt Zweierteams aus den 6 Wettläufern zu bilden. Daraus kann aber keine Aussage über erste oder zweite Plätze abgeleitet werden. Bei der Fragestellung handelt es sich aber um ein mehrstufiges Zufallsexperiment.
- Aussage 3: Richtig, weil es n=6 Möglichkeiten gibt, von denen k=2 ausgewählt werden. D.h. man könnte auf 15 unterschiedliche Arten je zwei Kugeln in einer Reihe auflegen
- Aussage 4: Falsch, weil der Binomialkoeffizient nur aussagt, wie viele Möglichkeiten es gibt Zweierteams aus den 6 Mädchen zu bilden. Bei der Fragestellung handelt es sich aber um ein mehrstufiges Zufallsexperiment, denn es gibt \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 1 \end{array}} \right) = 6\) Möglichkeiten eine Klassensprecherin aus 6 Schülerinnen zu wählen und dann gibt es noch \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 1 \end{array}} \right) = 5\) Möglichkeiten eine Stellvertreterin zu wählen.
- Aussage 5: Falsch, weil es sich dabei um ein Binärsystem handelt bei dem die Ziffernwerte nicht 0 und 1 lauten, sondern 2 und 6. Mit einer sechsstelligen Binärzahl können 26=64 Zahlen mit dem höchsten dezimalen Zahlenwert 26-1=63 gebildet werden. Das hat mit Binomialkoeffizienten nicht zu tun.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aufgabenstellungen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.