Aufgabe 1401
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Mehrere Wahrscheinlichkeiten
In einer Unterrichtsstunde sind 15 Schülerinnen und 10 Schüler anwesend. Die Lehrperson wählt für Überprüfungen nacheinander zufällig drei verschiedene Personen aus dieser Schulklasse aus. Jeder Prüfling wird nur einmal befragt.
- Aussage 1: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schülerinnen auswählt, kann mittels \(\dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{25}} \cdot \dfrac{{13}}{{25}}\) berechnet werden.
- Aussage 2: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson als erste Person einen Schüler auswählt, ist \(\dfrac{{10}}{{25}}\).
- Aussage 3: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson bei der Wahl von drei Prüflingen als zweite Person eine Schülerin auswählt, ist \(\dfrac{{24}}{{25}}\).
- Aussage 4: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lehrperson drei Schüler auswählt, kann mittels \(\dfrac{{10}}{{25}} \cdot \dfrac{9}{{24}} \cdot \dfrac{8}{{23}}\) berechnet werden.
- Aussage 5: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den von der Lehrperson ausgewählten Personen genau zwei Schülerinnen befinden, kann mittels \(\dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{24}} \cdot \dfrac{{23}}{{23}}\) berechnet werden.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Es ist zur Lösung der Aufgabe nicht unbedingt erforderlich das Baumdiagramm aufzuzeichnen, es veranschaulicht die jeweiligen Zusammenhänge aber ungemein:
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil wenn jede Schülerin maximal einmal aufgerufen werden kann, dann muss sich die im Nenner stehende "Anzahl der möglichen Schüler" jeweils um 1 verringern 25 → 24 → 23 . Richtig wäre: \(\dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{24}} \cdot \dfrac{{13}}{{23}}\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil es sind 10 männliche Schüler ("Günstige") unter insgesamt 25 Schülern ("Mögliche"), womit sich die Wahrscheinlichkeit zu \(P = \dfrac{{{\rm{Günstige}}}}{{{\rm{Mögliche}}}} = \dfrac{{10}}{{25}}\) errechnet.
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil überhaupt nur 15 Schülerinnen anwesend sind, daher kann im Zäher = "Günstige" nicht "25" stehen. Die richtige Rechung lautet: \(P = \dfrac{{10}}{{25}} \cdot \dfrac{{15}}{{24}} + \dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{24}} = \dfrac{3}{5}\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil sich im Zähler die Anzahl der männlichen Schüler ("Günstige") jeweils um 1 reduziert (10 → 9 → 8) und sich im Nenner die Anzahl der Schüler ("Mögliche") jeweils um 1 reduziert (25 → 24 → 23).
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil es 3 Pfade im Baumdiagramm gibt, die zu 2 Mädchen (und 1 Burschen) führen. Richtig wäre: \(P = \dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{14}}{{24}} \cdot \dfrac{{10}}{{23}} + \dfrac{{15}}{{25}} \cdot \dfrac{{10}}{{24}} \cdot \dfrac{{14}}{{23}} + \dfrac{{10}}{{25}} \cdot \dfrac{{15}}{{24}} \cdot \dfrac{{14}}{{23}} = 3 \cdot \dfrac{{15 \cdot 14 \cdot 10}}{{25 \cdot 24 \cdot 23}} = \dfrac{{21}}{{46}} \approx 0,4565\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.