Aufgabe 1424
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Augensumme beim Würfeln
Zwei unterscheidbare, faire Würfel mit den Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 werden gleichzeitig geworfen und die Augensumme wird ermittelt. Das Ereignis, dass die Augensumme durch 5 teilbar ist, wird mit E bezeichnet. (Ein Würfel ist „fair“, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle sechs Seitenflachen gleich groß ist.)
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E!
Lösungsweg
- Mögliche Augensummen: Wir stellen uns die Frage, welche Augenzahlen man mit 2 Würfeln überhaupt würfeln kann
- Günstige Augensummen: Sind solche, die man durch 5 teilen kann.
Wir können die Laplace Wahrscheinlichkeit verwenden, da es um ein einmaliges Ereignis / Würfeln geht:
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)
36 mögliche Augenzahlen: \(\left\{ {\left( {1,1} \right);...;\left( {1,6} \right);\left( {2,1} \right);...\left( {2,6} \right);\left( {3,1} \right)...\left( {3,6} \right);\left( {4,1} \right)...\left( {4,6} \right);\left( {5,1} \right)...\left( {5,6} \right);\left( {6,1} \right)...\left( {6,6} \right)} \right\}\)
Für jeden der beiden Würfel gibt es 6 Möglichkeiten, also insgesamt gibt es 6x6=36 Möglichkeiten
7 günstige Augenzahlen: \(\left\{ {\left( {1,4} \right);\left( {2,3} \right);\left( {3,2} \right);\left( {4,1} \right);\left( {5,5} \right);\left( {6,4} \right);\left( {4,6} \right)} \right\}\)
Somit ergibt sich gemäß der Formel für die Laplace Wahrscheinlichkeit:
\(P\left( E \right) = \dfrac{7}{{36}} \approx 0,194\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( E \right) = \dfrac{7}{{36}} \approx 0,194\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (als Dezimalzahl oder in Prozent) sind ebenfalls als richtig zu werten.
Toleranzintervalle: [0,19; 0,20] bzw. [19 %; 20 %]