Aufgabe 1520
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weiche und harte Eier
Beim Frühstücksbuffet eines Hotels befinden sich in einem Körbchen zehn äußerlich nicht unterscheidbare Eier. Bei der Vorbereitung wurde versehentlich ein hart gekochtes Ei zu neun weich gekochten Eiern gelegt.
Aufgabenstellung:
Eine Dame entnimmt aus dem noch vollen Körbchen ein Ei, das sie zufällig auswählt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass der nächste Gast bei zufälliger Wahl eines Eies das harte Ei entnimmt!
Lösungsweg
Die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ei zu erwischen, ergibt sich aus Anzahl der günstigen Fälle dividiert durch Anzahl der Möglichen Fälle.
- Damit der nächste Gast überhaupt noch die Möglichkeit hat das harte Ei zu entnehmen, muss die Dame ein weich gekochtes Ei bekommen haben. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit (beim ersten Mal) \({P_1} = \dfrac{9}{{10}}\).
- Danach muss der nächste Gast aus den 9 überbleibenden Eiern genau das harte Ei erwischen. Dafür ist die Wahrscheinlichkeit dann \({P_2} = \dfrac{1}{9}\)
- Die Wahrscheinlichkeit, dass nun beide Fälle eintreten lässt sich als Produkt beider Wahrscheinlichkeiten beschreiben: \({P_{hart,2}} = {P_1} \cdot {P_2}\)
Multiplikationsregeln für Wahrscheinlichkeiten: Sollten A1 und A2 2 beliebige - nicht notwendiger Weise unabhängige - Ereignisse sein, dann gilt:
\(P\left( {{A_1} \cap {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}\left| {{A_1}} \right.} \right)\)
Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A1 als auch A2 eintreten.
Für die gegenständliche Aufgabe ergibt sich somit:
\({P_{hart,2}} = {P_1} \cdot {P_2} = \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{10}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({P_{hart,2}} = \dfrac{1}{{10}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses (in Prozent oder Dezimalschreibweise) sind ebenfalls als richtig zu werten.