Aufgabe 1546
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Alarmanlagen
Eine bestimmte Alarmanlage löst jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 0,9 im Einbruchsfall Alarm aus. Eine Familie lässt zwei dieser Anlagen in ihr Haus so einbauen, dass sie unabhängig voneinander Alarm auslösen.
Aufgabenstellung
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im Einbruchsfall mindestens eine der beiden Anlagen Alarm auslöst!
Lösungsweg
1. Lösungsmöglichkeit:
- Wahrscheinlichkeit, dass nur die erste, nicht aber die zweite Alarmanlagen auslöst: \({P_1} = \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{9}{{100}}\)
- Wahrscheinlichkeit, dass nur die zweite, nicht aber die erste Alarmanlagen auslöst: \({P_2} = \dfrac{1}{{10}} \cdot \dfrac{9}{{10}} = \dfrac{9}{{100}}\)
- Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die erste, als auch die zweite Alarmanlagen auslösen: \({P_{1 + 2}} = \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{9}{{10}} = \dfrac{{81}}{{100}}\)
- Die Einzelwahrscheinlichkeiten werden aufsummiert: \(P\left( A \right) = {P_1} + {P_2} + {P_{1 + 2}} = \dfrac{9}{{100}} + \dfrac{9}{{100}} + \dfrac{{81}}{{100}} = \dfrac{{99}}{{100}} \buildrel \wedge \over = 99\% \)
2. Lösungsmöglichkeit:
- Wir berechnen die Gegenwahrscheinlichkeit, indem wir bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass keine der beiden Anlagen auslöst und ziehen die so errechnete Gegenwahrscheinlichkeit von 1 ab
- \(P\left( {A'} \right) = \dfrac{1}{{10}} \cdot \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{1}{{100}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - \dfrac{1}{{100}} = \dfrac{{99}}{{100}} \buildrel \wedge \over = 99\% \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass im Einbruchsfall mindestens eine der beiden Anlagen Alarm auslöst, liegt bei 0,99.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.