Aufgabe 1585
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 20. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Schätzwert für eine Wahrscheinlichkeit
In einer Fabrik wird mithilfe einer Maschine ein Produkt erzeugt, von dem jeweils 100 Stück in eine Packung kommen. Im Anschluss an eine Neueinstellung der Maschine werden drei Packungen erzeugt. Diese Packungen werden kontrolliert und es wird die jeweilige Anzahl darin enthaltener defekter Stücke ermittelt. Die Ergebnisse dieser Kontrollen sind in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst.
in der ersten Packung | 6 defekte Stücke |
in der zweiten Packung | 3 defekte Stücke |
in der dritten Packung | 4 defekte Stücke |
Die Fabriksleitung benötigt einen auf dem vorliegenden Datenmaterial basierenden Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p, dass ein von der neu eingestellten Maschine erzeugtes Stück fehlerhaft ist.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen möglichst zuverlässigen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit p an, dass ein von der neu eingestellten Maschine erzeugtes Stück fehlerhaft ist!
p=?
Lösungsweg
Es kann die Laplace Formel verwendet werden, da jedes Teilchen die gleiche Wahrscheinlichkeit hat defekt zu sein, und sich die Inhalte unterschiedlicher Packungen nicht qualitativ unterscheiden. Die Laplace Wahrscheinlichkeit P(E) gibt den relativen Anteil der „günstigen“ Versuchsausgängen zu den „möglichen“ Versuchsausgängen an. Sie ist also eine Maßzahl für die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis E bei mehreren möglichen Ereignissen eintritt. Alle Elementarergebnisse / Ausgänge müssen die gleiche Eintrittswahrscheinlichkeit haben.
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}}}\)
- Zähler: Insgesamt wurden 6+3+4=13 defekte Stück gefunden. Da wir die "defekten" Stücke betrachten, handelt es sich damit um die "günstigen" Fälle im Sinne unserer Untersuchung
- Nenner: Da es egal ist, in welcher Packung die defekten Stücke gefunden werden, kann die Gesamtsumme von \(3 \cdot 100 = 300\) zur Auswertung herangezogen werden.
\(P(E) = \dfrac{{13}}{{300}} = 0,04\mathop 3\limits^ \bullet \buildrel \wedge \over = 4,\mathop 3\limits^ \bullet \% \)
Insgesamt sind bei der Untersuchung ca. 4,3% der Stücke defekt gewesen. Man muss bei gleichbleibenden Rahmenbedingungen davon ausgehen, dass auch zukünftig bei dieser Maschine ca. 4,3% der Stücke defekt sind
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(p = P(E) = \dfrac{{13}}{{300}} = 0,04\mathop 3\limits^ \bullet \buildrel \wedge \over = 4,\mathop 3\limits^ \bullet \% \)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [0,04; 0,05] bzw. [4 %; 5 %]
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten.