Aufgabe 1589
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Konfidenzintervall
Für eine Wahlprognose wird aus allen Wahlberechtigten eine Zufallsstichprobe ausgewählt. Von 400 befragten Personen geben 80 an, die Partei Y zu wählen.
Aufgabenstellung:
Geben Sie ein symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den Stimmenanteil der Partei Y in der Grundgesamtheit an!
Lösungsweg
Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau \(\gamma\)) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert darin befindet. Für diejenigen Werte p, in deren das \(\gamma\) Konfidenzintervall der Wert h liegt, gilt:
\({p_{1,2}} = \left[ {h - z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} ;\,\,\,\,h + z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} } \right]\)
mit:
\(h = \dfrac{k}{n} = \dfrac{{80}}{{400}} = 0,2\) | relative Häufigkeit in einer Stichprobe |
p | unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit |
\(\gamma=0,95\) | Konfidenz- / Vertrauensniveau |
n=400 | Umfang der Stichprobe |
z | Ist aus einer der beiden Tabellen der Standardnormalverteilung abzulesen |
Für das 95%-Konfidenzintervall gilt:
\(\begin{array}{l} 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = \gamma = 0,95\\ \Phi \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975 \end{array}\)
oder
\(\begin{array}{l} D\left( z \right) = \gamma \\ D(z) = 0,95 \end{array}\)
In beiden Fällen können wir aus der jeweiligen Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen: \(z\left( {0,975} \right) = 1,96\) bzw \(0,9500 = D\left( {1,96} \right)\)
Wir setzen in die Formel ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} \left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = {p_{1,2}} = 0,2 \pm 1,96 \cdot \sqrt {\dfrac{{0,2 \cdot 0,8}}{{400}}} \\ {p_1} \approx 0,1608\\ {p_2} \approx 0,2392 \end{array}\)
Das gesuchte Konfidenzintervall lautet somit:
\(\left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = \left[ {0,1608;\,\,0,2392} \right]{\rm{ bzw}}{\rm{. }}0,2 \pm 0,0392\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Das gesuchte 95-%-Konfidenzintervall lautet
\(\left[ {{p_1};\,\,{p_2}} \right] = \left[ {0,1608;\,\,0,2392} \right]{\rm{ bzw}}{\rm{. }}0,2 \pm 0,0392\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für ein korrektes Intervall. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten. Die Aufgabe ist auch dann als richtig gelöst zu werten, wenn bei korrektem Ansatz das Ergebnis aufgrund eines Rechenfehlers nicht richtig ist.
Toleranzintervall für den unteren Wert: [0,160; 0,165]
Toleranzintervall für den oberen Wert: [0,239; 0,243]