Aufgabe 1610
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2018 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Prüfung
Um ein Stipendium für einen Auslandsaufenthalt zu erhalten, mussten Studierende entweder in Spanisch oder in Englisch eine Prüfung ablegen. Im nachstehenden Baumdiagramm sind die Anteile der Studierenden, die sich dieser Prüfung in der jeweiligen Sprache unterzogen haben, angeführt. Zudem gibt das Baumdiagramm Auskunft über die Anteile der positiven bzw. negativen Prüfungsergebnisse.
Aufgabenstellung:
Der Prüfungsakt einer/eines angetretenen Studierenden wird zufällig ausgewählt. Deuten Sie den Ausdruck \(0,7 \cdot 0,9 + \left( {1 - 0,7} \right) \cdot 0,8\) im gegebenen Kontext!
Lösungsweg
- Produktregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch einen Pfad dargestellt wird, ist gleich dem Produkt aller Einzelwahrscheinlichkeiten entlang dieses Pfades.
- Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, welches durch mehrere Pfade dargestellt wird, ist gleich der Summe aller zugehörigen Pfadwahrscheinlichkeiten
- Gegenereignis: Die Verneinung vom Ereignis E heißt Gegenereignis \(\overline E \). Für ein Ereignis E und sein Gegenereignis \(\overline E \) gilt folgender Zusammenhang: \(P\left( E \right) = 1 - P\left( {\overline E } \right)\)
Im Wissen über die Produktregel und die Summenregel bei Pfaden im Baumdiagramm analysieren wir den gegebenen Ausdruck \(0,7 \cdot 0,9 + \left( {1 - 0,7} \right) \cdot 0,8\) wie folgt:
- \(0,7 \cdot 0,9\) das ist gemäß der Produktregel der Pfad zu einer positiven Englischprüfung
- \(\left( {1 - 0,7} \right) \cdot 0,8\) das ist gemäß der Produktregel der Pfad zu einer positiven Spanischprüfung (1-0,7=0,3). Wobei \(\left( {1 - 0,7} \right)\) die Gegenwahrscheinlichkeit zu einer Englischprüfung ist - also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Spanischprüfung stattgefunden hat.
- Die Summe aus \(0,7 \cdot 0,9\) und \(\left( {1 - 0,7} \right) \cdot 0,8\) ist gemäß der Summenregel die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine positive Englischprüfung oder eine positive Spanischprüfung absolviert wurde.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Ausdruck beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass der zufällig ausgewählte Prüfungsakt ein positives Prüfungsergebnis - egal ob in Englsich oder Spanisch - aufweist.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine (sinngemäß) korrekte Deutung.