Aufgabe 1637
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Intervallbreite von Konfidenzintervallen
Vier Konfidenzintervalle (A, B, C und D) für einen unbekannten Anteil werden auf dieselbe Art und Weise ausschließlich unter Verwendung des Stichprobenumfangs n, des Konfidenzniveaus γ und des relativen Anteils berechnet, wobei der relative Anteil für alle vier Konfidenzintervalle derselbe ist. Die Konfidenzintervalle liegen symmetrisch um den relativen Anteil.
Konfidenzintervall | Stichprobenumfang n | Konfidenzniveau \(\gamma\) |
A | 500 | 90% |
B | 500 | 95% |
C | 2000 | 90% |
D | 2000 | 95% |
Aufgabenstellung:
Vergleichen Sie diese vier Konfidenzintervalle bezüglich ihrer Intervallbreite und geben Sie das Konfidenzintervall mit der kleinsten und jenes mit der größten Intervallbreite an!
- Konfidenzintervall mit der kleinsten Intervallbreite: _____
- Konfidenzintervall mit der größten Intervallbreite: _____
Lösungsweg
Wir erinnern uns an die Merksätze bezüglich dem Konfidenzintervall:
- Größere Stichprobe n ergibt ein schmäleres Konfidenzintervall (Hochrechnung bei Wahlen: höherer Auszählungsgrad → geringere Schwankungsbreite)
- Größere Sicherheit \(\gamma\) (höheres Konfidenzniveau = höherer Prozentsatz beim Konfidenzintervall) bedeutet breiteres Konfidenzintervall
- Je näher der Prozentsatz an der 50 % Grenze liegt, umso breiter wird das Konfidenzintervall. Das heißt je deutlicher Zustimmung bzw. Ablehnung sind, umso schmäler wird das Konfidenzintervall
Aufbauend auf diesen Merkregeln erweitern wir die Tabelle wir folgt
Konfidenzintervall | Stichprobenumfang n | Konfidenzniveau \(\gamma\) |
A | 500 → kleine Stichprobe → breites Intervall | 90% → kleine Sicherheit → schmales Intervall |
B=breit+breit | 500 → kleine Stichprobe → breites Intervall | 95% → große Sicherheit → breites Intervall |
C=schmal+schmal | 2000 → große Stichprobe → schmales Intervall | 90% → kleine Sicherheit → schmales Intervall |
D | 2000 → große Stichprobe → schmales Intervall | 95% → große Sicherheit → breites Intervall |
Somit können wir wie folgt antworten:
- Konfidenzintervall mit der kleinsten Intervallbreite: C
- Konfidenzintervall mit der größten Intervallbreite: B
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
Konfidenzintervall mit der kleinsten Intervallbreite: C
Konfidenzintervall mit der größten Intervallbreite: B
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Konfidenzintervalle.