Aufgabe 1803
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Binomialkoeffizient
Eine Gruppe besteht aus 12 Schülerinnen.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen des jeweils richtigen Satzteils so, dass eine korrekte Aussage entsteht.
Der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 2 \end{array}} \right)\) hat den Wert _____1______; er kann dazu verwendet werden, die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, ______2______, zu berechnen
- Auswahl 1_1: 24
- Auswahl 1_2: 66
- Auswahl 1_3: 144
- Auswahl 2_1: 2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen
- Auswahl 2_2: 2 Schülerinnen dieser Gruppe 2 unterschiedliche Preise zu verleihen
- Auswahl 2_3: die Schülerinnen in 2 Gruppen zu je 6 Schülerinnen einzuteilen
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Der Binomialkoeffizient wird mit Hilfe der Fakultät berechnet.
Auswahl 1_2 ist richtig, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 2 \end{array}} \right) = \dfrac{{n!}}{{k! \cdot \left( {n - k} \right)!}} = 66\)
Der Binomialkoeffizient „n über k“ besagt, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen, wobei es auf die Reihenfolge, in der die ausgewählten Elemente gezogen werden, nicht ankommt.
Auswahl 2_1 ist richtig, weil der Binomialkoeffizient \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {12}\\ 2 \end{array}} \right)\) angibt, wie viele unterschiedliche 2-er Paare (nämlich 66) aus den insgesamt 12 Schülerinnen gebildet werden können (die dann zusammen ein Referat halten).
→ Der Binomialkoeffizient hat den Wert 66; er kann dazu verwendet werden, die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen, zu berechnen
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Der Binomialkoeffizient hat den Wert 66; er kann dazu verwendet werden, die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 2 Schülerinnen dieser Gruppe auszuwählen, die gemeinsam ein Referat halten sollen, zu berechnen
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn für jede der beiden Lücken ausschließlich der laut Lösungserwartung richtige Satzteil angekreuzt ist. Ist nur für eine der beiden Lücken der richtige Satzteil angekreuzt, ist ein halber Punkt zu geben.