Aufgabe 1805
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Konfidenzintervall
Anhand der relativen Stichprobenhäufigkeit h bei einer repräsentativen Befragung von 500 Personen wurde für den unbekannten relativen Anteil der Befürworter/innen einer Umfahrungsstraße das 95-%-Konfidenzintervall [h – 0,04; h + 0,04] ermittelt.
Eine zweite repräsentative Befragung von 2 000 Personen ergibt die gleiche relative Stichprobenhäufigkeit h.
Aufgabenstellung:
Geben Sie für diese zweite Befragung das um h symmetrische 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil der Befürworter/innen der Umfahrungsstraße an.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir setzen 2 mal in die Formel für das Konfidenzintervall ein.
1. Stichprobenumfang = 500
\({n_1} = 500 \to {p_{1,2}} = h \pm 0,04 = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{{{n_1}}}} = h \pm \dfrac{{\sqrt {h \cdot \left( {1 - h} \right)} }}{{\sqrt {{n_1}} }}\)
2. Stichprobenumfang=2000
Wir nützen den Umstand, dass die Anzahl der befragten Personen bei der 2. Befragung viermal so groß ist als bei der 1. Befragung:
\(\begin{array}{l} {n_2} = 2000 = 4 \cdot {n_1} \to \\ {p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{{{n_2}}}} = h \pm \dfrac{{\sqrt {h \cdot \left( {1 - h} \right)} }}{{\sqrt {4 \cdot {n_1}} }} = \\ = h \pm \dfrac{{\sqrt {h \cdot \left( {1 - h} \right)} }}{{\sqrt 4 \cdot \sqrt {{n_1}} }} = h \pm \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{{\sqrt {h \cdot \left( {1 - h} \right)} }}{{\sqrt {{n_1}} }} = h \pm \dfrac{1}{2} \cdot 0,04 = h \pm 0,02 \end{array}\)
Das um h symmetrische 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten relativen Anteil der Befürworter/innen der Umfahrungsstraße lautet:
[h – 0,02; h + 0,02]
Ergebnis
Die richtige Antwort lautet:
[h – 0,02; h + 0,02]
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.