Aufgabe 1829
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahlprognose
Vor einer bestimmten Wahl nahmen 500 Personen, die zufällig und unabhängig voneinander ausgewählt worden waren, an einer Umfrage teil. Von diesen Personen gaben 35 % an, dass sie Partei A wählen werden.
Als Ergebnis der Umfrage wurde das um diesen relativen Anteil symmetrische γ-Konfidenzintervall [0,315; 0,385] für den unbekannten Anteil der Partei-A-Wähler/innen angegeben. Für die Berechnung dieses Konfidenzintervalls wurde eine die Binomialverteilung approximierende Normalverteilung verwendet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie γ.
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Gesucht ist das Konfidenzniveau. Das Konfidenzintervall definiert einen Bereich, in dem man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (dem Konfidenzniveau γ) darauf vertrauen darf, dass sich der wahre Wert einer Zufallsgröße darin befindet.
\({p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} \)
35% → h=0,35 ... relative Häufigkeit in der Stichprobe
(1-h)=0,65
n=500 … Umfang der Stichprobe
P1=0,315
p2=0,385
Somit können wir z wie folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} 0,35 + z \cdot \sqrt {\dfrac{{0,35 \cdot 0,65}}{{500}}} = 0,385\\ z = \dfrac{{0,385 - 0,35}}{{\sqrt {\dfrac{{0,35 \cdot 0,65}}{{500}}} }} \approx 1,641 \end{array}\)
Laut Angabe wurde die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert. Mit z=1,64 können wir in einer Tabelle der Normalverteilung wie folgt ablesen: D(z)=D(1,64)=0,8990.
Gemäß \(D\left( z \right) = \gamma = 0,899 \buildrel \wedge \over = 90\% \) haben wir die gesuchte Lösung gefunden.
D.h. man kann mit 90% Sicherheit darauf vertrauen, dass sich der wahre Wert der Wähler der Partei A im Konfidenzintervall [0,315; 0,385] befindet. D.h. mit 90% Sicherheit wird die Partei A zwischen 31,5% und 38,5% der Stimmen erhalten.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\gamma \approx 90\% \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.