Aufgabe 1850
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Münzwurf
Eine Münze zeigt nach einem Wurf entweder „Kopf“ oder „Zahl“. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze „Kopf“ zeigt, ist bei jedem Wurf genauso hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass sie „Zahl“ zeigt. Die Ergebnisse der Würfe sind voneinander unabhängig. Bei einem Zufallsversuch wird die Münze 4-mal geworfen.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Zufallsversuch „Kopf“ häufiger als „Zahl“ auftritt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Binomialverteilung, weil die diskrete Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: Kopf / nicht Kopf. Es bleibt zudem die Grundgesamtheit unverändert, weil ein Wurf keine Auswirkungen auf den folgenden Wurf hat. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n = 4 und p = 0,5
\(P\left( {X = k} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ k \end{array}} \right) \cdot {p^k} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - k}}\)
Kopf häufiger als Zahl bedeutet bei 4 Würfen, dass Kopf 3 mal oder 4 mal auftritt:
\(\begin{array}{l} P\left( {X > 2} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 4} \right) = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) \cdot {0,5^3} \cdot {\left( {1 - 0,5} \right)^{4 - 3}} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4 \end{array}} \right) \cdot {0,5^4} \cdot {\left( {1 - 0,5} \right)^{4 - 4}} = \dfrac{5}{{16}}\\ \\ {\rm{Binomial}}(4,3)*{0.5^3}*0.5 + {\rm{Binomial}}(4,4)*{0.5^4} = \dfrac{5}{{16}} = 0,3125 \end{array}\)
Gegenprobe:
Kopf häufiger als Zahl bedeutet bei 4 Würfen, dass Zahl 0 mal oder 1 mal auftritt:
\(\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^4} + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right) \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^1} \cdot {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} = 0,3125\\ \\ {\rm{Binomial}}(4,0)*1*{0.5^4} + {\rm{Binomial}}(4,1)*{0.5^1}*{0.5^3} = \dfrac{5}{{16}} = 0,3125 \end{array}\)
In beiden Fällen erhalten wir als Lösung:
\(P\left( {{\rm{Kopf}} > 2} \right) = \dfrac{5}{{16}} = 0,3125 \buildrel \wedge \over = 31,25\% \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( {{\rm{Kopf}} > 2} \right) = \dfrac{5}{{16}} = 0,3125 \buildrel \wedge \over = 31,25\% \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Wahrscheinlichkeit.