Aufgabe 1853
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Korkender Wein
Der Geschmack von Wein kann durch einen bestimmten Stoff, der aus dem Korken einer Weinflasche in den Wein gelangen kann, beeinträchtigt werden. Man spricht dann davon, dass der Wein „korkt“.
In einem Weinbaubetrieb werden alle Weinflaschen eines bestimmten Jahrgangs mit Korken aus derselben Produktion verschlossen. Bei einer späteren Überprüfung von 200 Weinflaschen dieses Jahrgangs stellt sich heraus, dass der Wein von 12 Flaschen korkt. Der relative Anteil der Weinflaschen aus einer Stichprobe, bei denen der Wein korkt, wird mit h
bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Geben Sie für diesen Weinbaubetrieb und diesen Jahrgang ein um h symmetrisches 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil derjenigen Weinflaschen an, bei denen der Wein korkt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Das Konfidenzintervall für die Normal- bzw. Standardnormalverteilung lautet:
\({p_{1,2}} = h \pm z \cdot \sqrt {\dfrac{{h \cdot \left( {1 - h} \right)}}{n}} \)
Aus der Angabe entnehmen wir, das 12 von 200 Weinflaschen „korken“.
- Der Umfang der Stichprobe: n=200
- Die relative Häufigkeit von korkendem Wein errechnet sich zu :
\(h = \dfrac{{12}}{{200}} = 0,06\) - Das z für ein 95% Konfidenzintervall kennen wir entweder auswendig: z=1,96
oder wir ermitteln das z wie folgt:
\(\begin{array}{l} 2 \cdot \Phi \left( z \right) - 1 = 0,95\\ \Theta \left( z \right) = \dfrac{{1,95}}{2} = 0,975 \end{array}\)
Aus der Tabelle der Standardnormalverteilung können wir ablesen: z(0,975)=1,96
Wir setzen in die Formel für das Konfidenzintervall ein und erhalten:
\(\begin{array}{l} 0,06 \pm 1,96\sqrt {\dfrac{{0,06 \cdot 0,94}}{{200}}} \\ {p_1} = 0,09291\\ {p_2} = 0,02708 \end{array}\)
Das 95-%-Konfidenzintervall lautet:
\(\left[ {0,027;0,093} \right]\)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\left[ {0,027;0,093} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Angeben des richtigen Konfidenzintervalls