Aufgabe 1874
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 21. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zweistufiges Zufallsexperiment
Bei einem Zufallsexperiment tritt entweder „Erfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit p oder „Misserfolg“ mit der Wahrscheinlichkeit 1 – p ein.
Dieses Zufallsexperiment wird 2-mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mindestens 1-mal „Erfolg“ eintritt, betragt 0,36.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Gemäß Angabe gilt wie folgt:
- Erfolg: p
- Misserfolg 1-p
- Mindestens 1-mal Erfolg: \(P\left( {X \geqslant 1} \right) = 0,36\)
Wir stellen folgende Überlegungen an:
- Mindestens 1-mal Erfolg bedeutet entweder 1-mal oder 2-mal Erfolg, also: \(P\left( {X \geqslant 1} \right) = 0,36\)
- Mindestens 1-mal Erfolg entspricht auch der Gegenwahrscheinlichkeit zu 2-mal Misserfolg.
- Die Wahrscheinlichkeit für 1-mal Misserfolg beträgt lt. Angabe: \(\left( {1 - p} \right)\)
- Die Wahrscheinlichkeit für 2-mal Misserfolg beträgt: \({\left( {1 - p} \right)^2}\)
- Die Gegenwahrscheinlichkeit für 2-mal Misserfolg beträgt: \(1 - {\left( {1 - p} \right)^2}\)
Durch Gleichsetzen der beiden Terme können wir p wie folgt berechnen:
\(\eqalign{ & P\left( {X \geqslant 1} \right) = 0,36 = 1 - {\left( {1 - p} \right)^2} \cr & {\left( {1 - p} \right)^2} = 1 - 0,36 = 0,54\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right. \cr & 1 - p = \sqrt {0,54} \cr & p = 1 - \sqrt {0,54} \approx 0,265 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
p=0,265
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Berechnen von p.