Aufgabe 3059
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 03. Mai 2022 - Teil-2-Aufgaben - 3. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Weltbevölkerung
In der nachstehenden Tabelle ist für bestimmte Kalenderjahre die Schätzung der Weltbevölkerung (jeweils zur Jahresmitte) angegeben.
Kalenderjahr | Weltbevölkerung in Milliarden |
1970 | 3,700 |
1990 | 5,327 |
2000 | 6,140 |
2010 | 6,975 |
2020 | 7,790 |
Datenquellen: https://de.statista.com/statistik/daten/studie/1694/umfrage/entwicklung…,
https://www.statistik.at/web_de/statistiken/menschen_und_gesellschaft/b…
[17.05.2020].
Teil c
In einem anderen Modell wird die Entwicklung der Weltbevölkerung ab 1970 durch die Funktion g modelliert.
\(g\left( t \right) = 3,7 \cdot {e^{ - 0,0001 \cdot {t^2} + 0,02 \cdot t}}\)
- t ... Zeit ab 1970 in Jahren
- g(t) ... Weltbevölkerung zur Zeit t in Milliarden
Gemäß diesem Modell wird die Weltbevölkerung zunächst zunehmen und in weiterer Folge abnehmen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie mithilfe der Funktion g das Maximum der Weltbevölkerung, in dem dies gemäß dem Modell eintreten soll.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie mithilfe der Funktion g das Kalenderjahr, in dem dies gemäß dem Modell eintreten soll.
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Für das lokale Maximum einer Funktion gilt:
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\)
Exponentialfunktionen mit der eulerschen Zahl als Basis lassen sich zwar besonders einfach ableiten, aber dann „händisch“ auch noch die Nullstelle zu finden, geht sich in der verfügbaren Zeit nicht aus!
Wir lösen die Aufgabe mit Hilfe von Technologie:
-
Wolfram Alpha: 3.7e^(-0.0001*100^(2)+0.02*100)
Liefert g(t=100)=10,0576
→ Maximum der Weltbevölkerung: rund 10,1 Milliarden
Löst man die Aufgabe mit Hilfe von GeoGebra:
- g(t) eingeben
- Extremum(g,50,150) liefert (100|10,0576)
→ Maximum der Weltbevölkerung: rund 10,1 Milliarden
2. Teilaufgabe:
Wir lösen die Aufgabe mit Hilfe von Technologie:
Wolfram Alpha: maximize (3.7e^(-0.0001*t^(2)+0.02t))
Liefert t=100 dh an der Stelle t=100 liegt das Maximum von g(t)
Das Bezugsjahr ist lt. Angabe das Jahr 1970, zu dem wir t=100 Jahre addieren müssen: 1970+100=2070
→ Kalenderjahr: 2070
Löst man die Aufgabe mit Hilfe von GeoGebra:
- g(t) eingeben
- Extremum(g,50,150) liefert (100|10,0576)
Das Bezugsjahr ist lt. Angabe das Jahr 1970, zu dem wir t=100 Jahre addieren müssen: 1970+100=2070
→ Kalenderjahr: 2070
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Maximum der Weltbevölkerung: rund 10,1 Milliarden
2. Teilaufgabe
Kalenderjahr: 2070
Lösungsschlüssel:
1. und 2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der beiden Werte, ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.