Aufgabe 3067
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2022 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe - Best-of-Wertung
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pelletsheizung
In Österreichs Haushalten werden verschiedene Heizungsarten wie zum Beispiel die Ölheizung (mit Heizöl als Brennmaterial) oder die Pelletsheizung (mit Pellets – kleine gepresste Holzspäne – als Brennmaterial) eingesetzt.
Teil c
Die Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich kann für den Zeitraum von 1997 bis 2019 modellhaft durch die nachstehende Gleichung beschrieben werden.
\(A\left( t \right) = \dfrac{{147130}}{{1 + 31 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}}}\)
- t ... Zeit seit Beginn des Jahres 1997 in Jahren
- A(t) ... Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich zur Zeit t in 1 000 Stück
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie für den Zeitraum von 1997 bis 2019 dasjenige Jahr, in dem gemäß diesem Modell die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Osterreich am größten war.
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Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
1. Lösungsmöglichkeit: Zweifaches Ableiten
Die größte Änderung einer Funktion f(x) ist immer in ihrem Wendepunkt. Gemäß der NEW-Regel gilt: Der Wendepunkt einer Funktion f(x) ist dort, wo die 2. Ableitung ihre Nullstelle hat, also: f‘‘(x)=0.
\(\eqalign{
& A\left( t \right) = \dfrac{{147130}}{{1 + 31 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}}} \buildrel \wedge \over =
\dfrac{S}{{1 + C \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}} = \cr
& A'\left( t \right) = \cr
& A''\left( t \right) = \cr
& A''\left( t \right) = 0 \cr} \)
Die gegebene Funktion 2 mal abzuleiten ist alles andere als einfach. Wir wählen daher eine andere Vorgehensweise.
2. Lösungsmöglichkeit: Man weiß, dass der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion immer beim halben Sättigungswert liegt (diese Info haben wir aber vergeblich in der AHS Formelsammlung gesucht...)
Bei der gegebenen Gleichung handelt es sich um die Formel für logistisches Wachstum. Beim logistischen Wachstumsmodell wächst der Bestand N(t) ausgehend von einem Startwert bzw. Anfangsbestand N0 zur Zeit t=0 zunächst exponentiell, wobei der s-förmige Graph dann einen Wendepunkt hat, ab dem sich das Wachstum abschwächst um sich einem Sättigungswert S anzunähern. Der Wendepunkt einer logistischen Wachstumsfunktion liegt immer beim halben Sättigungswert. Im Wendepunkt einer Funktion hat diese das größte Wachstum.
\(N\left( t \right) = \dfrac{{{N_0} \cdot S}}{{{N_0} + \left( {S - {N_0}} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + \left( {\frac{S}{{{N_0}}} - 1} \right) \cdot {e^{ - S \cdot k \cdot t}}}} = \dfrac{S}{{1 + c \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}}}\)
Somit ergibt sich:
\(\eqalign{
& A\left( t \right) = \dfrac{{147130}}{{1 + 31 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}}} \cr
& WP\left( {W{P_x}\left| {\dfrac{{147130}}{2}} \right.} \right) \to \dfrac{{147130}}{{1 + 31 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}}} = \frac{{147130}}{2} = 73565 \cr
& \cr
& \dfrac{{147130}}{{1 + 31 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}}} = 73565 \cr
& 147130 = 73565 + 2\,280\,515 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| { - 73565} \right. \cr
& 73565 = 2\,280\,515 \cdot {e^{ - 0,28 \cdot t}}\,\,\,\,\,\left| {:2\,280\,515} \right. \cr
& {e^{ - 0,28 \cdot t}} = \dfrac{{73565}}{{2\,280\,515}}\,\,\,\,\,\left| {\ln } \right. \cr
& - 0,28 \cdot t = \ln \left( {\frac{{73565}}{{2\,280\,515}}} \right)\,\,\,\,\,\left| {: - 0,28} \right. \cr
& t = - \dfrac{{\ln \left( {\dfrac{{73565}}{{2\,280\,515}}} \right)}}{{0,28}} \approx 12,26 \cr} \)
Laut Angabe ist 1997 das Bezugsjahr, daher müssen wir noch wie folgt addieren: 1997+12,2=2009,2
→ Im Jahr 2009 war die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich am größten.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Im Jahr 2009 war die momentane Änderungsrate der Anzahl der Pelletsheizungen in Österreich am größten.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Jahreszahl.