Aufgabe 3074
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Tee
Tee ist weltweit eines der meist konsumierten Getränke.
Teil a
Modellhaft wird angenommen, dass der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich jedes Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um den gleichen Prozentsatz steigt. Unter dieser Annahme gibt die Funktion f den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Österreich ab 2016 in Abhängigkeit von der Zeit t an (t in Jahren, f(t) in Litern).
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, um welchen Funktionstyp es sich bei f handelt.
Der jährliche Pro-Kopf-Verbrauch von Tee lag in Österreich im Jahr 2016 bei 33 L. Der Anteil des Tees, der in Osterreich im Jahr 2016 mittels Teebeutel zubereitet wurde, beträgt 95 %.
Es werden folgende Annahmen getroffen:
- Der Pro-Kopf-Verbrauch von Tee in Osterreich steigt seit dem Jahr 2016 jedes Jahr im Vergleich zum jeweiligen Vorjahr um 2 %.
- Der Anteil des Tees, der in Osterreich jedes Jahr mittels Teebeutel zubereitet wird, bleibt gleich.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, wie viele Liter Tee im Jahr 2026 unter den oben angeführten Annahmen pro Kopf in Österreich mittels Teebeuteln zubereitet werden.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert (Teeverbrauch) innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallen (1 Jahr) um den gleichen Prozentwert.
→ Es handelt sich um eine Exponentialfunktion
2. Teilaufgabe:
- 2016 werden 33 l Tee Pro-Kopf verbraucht. Dh der Anfangswert c=33
- Der Pro-Kopf-Verbrauch steigt pro Jahr um 2%. Dh a=1,02
- Der Zeitraum t = 2026 – 2016 = 10 Jahre
Für den gesamten Pro-Kopf-Teeverbrauch ergibt sich daher:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = c \cdot {a^t} \cr & f\left( {t = 10} \right) = 33 \cdot {1,02^{10}}\left( { \approx 40,2268} \right) \cr} \)
Vom gesamten Pro-Kopf-Teeverbrauch entfallen aber nur 95% auf Teebeutel.
\(f\left( {t = 10} \right) = 33 \cdot {1,02^{10}} \cdot 0,95 \approx 38,215\)
→ In Österreich werden im Jahr 2026 pro Kopf ca. 38,2 L Tee mittels Teebeutel zubereitet.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Exponentialfunktion
2. Teilaufgabe
In Österreich werden im Jahr 2026 pro Kopf ca. 38,2 L Tee mittels Teebeutel zubereitet.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Ausgleichspunkt für die Angabe des richtigen Funktionstyps.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „L“ nicht angegeben sein muss.