Aufgabe 3083
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stuck davon. Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an: Es werden
- 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
- 900 Sofortgewinne zu je € 5
- 100 Sofortgewinne zu je € 65
ausgezahlt.
Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt nach dem Zufallsprinzip.
Teil a
Unter Berücksichtigung aller Produktionskosten kostet jeder der 100 000 Müsliriegel in der Produktion durchschnittlich € 1. Der Verkaufspreis eines Müsliriegels soll so festgelegt werden, dass für den Hersteller ein Gewinn von mindestens € 80.000 erzielt wird, wenn nach dem Verkauf aller Müsliriegel alle Sofortgewinne ausgezahlt werden müssen. Alle Müsliriegel haben den gleichen Verkaufspreis.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den unter diesen Voraussetzungen kleinstmöglichen Verkaufspreis p des Müsliriegels.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie an, um wie viel Prozent der kleinstmögliche Verkaufspreis p gesenkt werden kann, wenn man die Müsliriegel ohne Gewinnspiel verkauft und der Gewinn trotzdem mindestens € 80.000 ausmachen soll.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
- Der Gewinn ergibt sich aus den Einnahmen minus der Kosten, somit: \(G = E - K\).
Der Gewinn errechnet sich aus der verkauften Stückzahl mal dem Verkaufspreis p zu: \(G = 100\,000 \cdot p\) -
Die Kosten setzen sich aus den Herstellkosten und der Summe der Sofortgewinne zusammen:
-
Die Herstellkosten betragen 100.000 Stk zu je 1€, also \({K_{Hk}} = 100\,000 \cdot 1 = 100\,000\)
-
Die Summe aller Sofortgewinne beträgt: \({K_{SG}} = 9\,000 \cdot 2 + 900 \cdot 5 + 100 \cdot 65 = 29.000\)
-
-
Der Erlös soll 80.000€ betragen, somit: \(E = G + K = 80.000\)
Somit ergibt sich folgende Gleichung, in der wir p explizit machen:
\(\eqalign{ & 80000 = p \cdot 100\,000 - \left[ {100\,000 + \left( {9\,000 \cdot 2 + 900 \cdot 5 + 100 \cdot 65} \right)} \right] \cr & 80\,000 = p \cdot 100\,000 - \left[ {100\,000 + 29\,000} \right] \cr & 80\,000 = p \cdot 100\,000 - 129\,000\,\,\,\,\,\left| { + 129\,000} \right. \cr & 209\,000 = 100\,000 \cdot p \cr & p = \frac{{209\,000}}{{100\,000}} = 2,09 \cr & p = 2,09 \cr} \)
Der Preis muss 2,09 € betragen
2. Teilaufgabe:
Es kommen die selben Überlegungen wie bei der 1. Teilaufgabe zur Anwendung, jedoch ohne HSG:
\(\eqalign{ & 80000 = p \cdot 100\,000 - 100\,000\,\,\,\,\,\left| { + 100\,000} \right. \cr & 180\,000 = 100\,000 \cdot p \cr & p = \frac{{180\,000}}{{100\,000}} = 1,80 \cr & p = 1,80 \cr} \)
Ohne Sofortgewinne kann der Preis von 2,09€ auf 1,80 € gesenkt werden.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(p = 2,09{\text{€}}\)
2. Teilaufgabe
\({p_1} = 1,80{\text{€}}\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „€“ nicht angegeben sein muss.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung. Andere Schreibweisen der Lösung sind ebenfalls als richtig zu werten.