Aufgabe 3084
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Müsliriegel
Ein neuer Müsliriegel steht vor der Markteinführung. Der Hersteller dieses Müsliriegels produziert 100 000 Stück davon. Auf allen Verpackungen der Müsliriegel wird die Möglichkeit von Sofortgewinnen angekündigt. Die jeweilige Höhe des Sofortgewinns kann man nach dem Öffnen der Verpackung auf deren Innenseite ablesen. Der Hersteller des Müsliriegels gibt an: Es werden
- 9 000 Sofortgewinne zu je € 2
- 900 Sofortgewinne zu je € 5
- 100 Sofortgewinne zu je € 65
ausgezahlt.
Alle produzierten Müsliriegel werden an Geschäfte geliefert. Die Verteilung der Müsliriegel erfolgt nach dem Zufallsprinzip.
Teil b
Die Zufallsvariable X beschreibt die Höhe des ausgezahlten Sofortgewinns pro gekauften Müsliriegel.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Erwartungswert E(X).
Ein Kunde kauft 4 Müsliriegel.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der der Kunde mindestens einen Sofortgewinn erzielt.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen, die mehrere Werte annehmen kann, ergibt sich aus der Summe aller Produkte errechnet aus dem Wert, den die Zufallsvariable annehmen kann (2; 5; 65), multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit für diesen Wert.
\(E\left( X \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot P\left( {X = {x_i}} \right)} \)
für die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten gilt:
\(P\left( E \right) = \dfrac{{{\text{Anzahl günstigen Fälle}}}}{{{\text{Anzahl möglichen Fälle}}}}\)
Wir schreiben die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Sofortgewinne wie folgt an:
\(\eqalign{ & P\left( {X = 2} \right) = \frac{{9\,000}}{{100\,000}} = 0,09 \cr & P\left( {X = 5} \right) = \frac{{900}}{{100\,000}} = 0,009 \cr & P\left( {X = 65} \right) = \frac{{100}}{{100\,000}} = 0,001 \cr} \)
und erhalten gemäß der Merkregel: "Was passiert" mal "mit welcher Wahrscheinlichkeit passiert es" den gesuchten Erwartungswert zu:
\(\eqalign{ & E\left( X \right) = 0,09 \cdot 2 + 0,009 \cdot 5 + 0,001 \cdot 65 \cr & E\left( X \right) = 0,29 \cr} \)
Der Erwartungswert beträgt 0,29 €
2. Teilaufgabe:
Wir müssen also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass „mindestens ein“ Sofortgewinn erzielt wird. Es ist aber einfacher die Gegenwahrscheinlichkeit zu berechnen, das „kein“ Sofortgewinn erzielt wird. Dazu darf jeder der 4 gekauften Müsliriegel keinen Sofortgewinn erzielen.
Es gibt 100.000 Müsliriegel, von denen (9.000+900+100=)10.000 einen Sofortgewinn erzielen und die verbleibenden 90.000 keinen Sofortgewinn erzielen.
Wir arbeiten wieder mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit und berücksichtigen die nach jedem Kauf eines Müsliriegels um 1 abnehmende Anzahl der „günstigen“ Riegel, also der Riegel ohne Sofortgewinn:
\(P\left( {{\text{ohne Sofortgewinn}}} \right) = 1 - \dfrac{{90\,000}}{{100\,000}} \cdot \dfrac{{89\,999}}{{99\,999}} \cdot \dfrac{{89\,998}}{{99\,998}} \cdot \dfrac{{89\,997}}{{99\,997}} \approx 0,3439\)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde welcher 4 Müsliriegel gekauft hat, mindestens einen Sofortgewinn erzielt, beträgt ca. 23,4%
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Erwartungswert beträgt 0,29 €
2. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde welcher 4 Müsliriegel gekauft hat, mindestens einen Sofortgewinn erzielt, beträgt ca. 23,4%
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die Einheit „€“ nicht angegeben sein muss.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei die näherungsweise Berechnung mit 1 – 0,94 ebenfalls als richtig zu werten ist.