Aufgabe 4012
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252
Teil c
In Österreich produzierte Rohmilch enthält unmittelbar nach dem Melken durchschnittlich 20 000 Keime pro Milliliter (ml). Ein Modell geht davon aus, dass sich die Anzahl der Keime alle 25 Minuten verdoppelt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie, dass die unten angegebene Funktion N nicht diesem Modell entspricht.
[1 Punkt]
\(N\left( t \right) = 20\,\,000 + 800 \cdot t\)
mit
t | Zeit nach dem Melken in min |
N(t) | Anzahl der Keime pro ml zur Zeit t |
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Bei der gegebenen linearen Funktion ist die absolute Zunahme konstant, (bei der Exponentialfunktion ist die relative Zunahme konstant). Da sich die Keimanzahl alle 25 Minuten um 100% erhöht (Verdoppelt) ist ein lineares Modell ungeeignet.
oder:
\(\eqalign{ & N(t = 0) = 20\,000 + 800 \cdot 0 = 20\,000 \cr & N\left( {t = 25} \right) = 20\,000 + 800 \cdot 25 = 40\,000 \cr & N(t = 50) = 20\,000 + 800 \cdot 50 = 60\,000 \cr} \)
Interpretation der rechnerischen Überprüfung: Das lineare Modell bildet zwar die ersten beiden Zeitpunkte (t=0) und (t=20) korrekt ab, aber den dritten Zeitpunkt (t=50) nicht mehr. Klar: Es ist immer möglich durch 2 Punkte eine Gerade zu legen. Erst ab dem 3. Punkt ist die Gerade „überbestimmt“ und es zeigt sich, dass die das relative Wachstum von 100% pro 25 Minuten nicht abbilden kann.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Bei der gegebenen linearen Funktion ist die absolute Zunahme konstant, (bei der Exponentialfunktion ist die relative Zunahme konstant). Da sich die Keimanzahl alle 25 Minuten um 100% erhöht (Verdoppelt) ist ein lineares Modell ungeeignet.
oder:
\(\eqalign{ & N(t = 0) = 20\,000 + 800 \cdot 0 = 20\,000 \cr & N\left( {t = 25} \right) = 20\,000 + 800 \cdot 25 = 40\,000 \cr & N(t = 50) = 20\,000 + 800 \cdot 50 = 60\,000 \cr} \)
Interpretation der rechnerischen Lösung: Das lineare Modell bildet zwar die ersten beiden Zeitpunkte (t=0) und (t=20) korrekt ab, aber den dritten Zeitpunkt (t=50) nicht mehr. Klar: Es ist immer möglich durch 2 Punkte eine Gerade zu legen. Erst ab dem 3. Punkt ist die Gerade „überbestimmt“ und es zeigt sich, dass die das relative Wachstum von 100% pro 25 Minuten nicht abbilden kann.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × D: für die richtige Argumentation (KA)