Aufgabe 4129
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kugelstoßen - Aufgabe A_268
Teil c
Kugelstoßen ist eine Disziplin bei den Olympischen Sommerspielen. Eine Metallkugel muss so weit wie möglich aus einem Kreis in einen vorgegebenen Aufschlagbereich gestoßen werden. Die Bahnkurve einer gestoßenen Kugel lässt sich näherungsweise durch den Graphen der quadratischen Funktion h beschreiben:
\(h\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 0,75 \cdot x + 2{\text{ mit }}x \geqslant 0\)
mit
x ... horizontale Entfernung der Kugel von der Abstoßstelle in m
h(x) ... Höhe der Kugel über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, in welcher Höhe die Kugel abgestoßen wird.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie, in welcher horizontalen Entfernung von der Abstoßstelle die Kugel auf dem Boden aufschlägt.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Kugel wird an der Stelle x=0 abgestoßen:
\(\eqalign{ & h\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 0,75 \cdot x + 2 \cr & h(x = 0) = - 0,05 \cdot {0^2} + 0,75 \cdot 0 + 2 = 2 \cr} \)
→ Die Abstoßhöhe beträgt 2 m
2. Teilaufgabe
Es handelt sich dabei um eine Nullstelle der Funktion h(x).
Wir nützen die abc-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung.
\(\eqalign{ & h\left( x \right) = - 0,05 \cdot {x^2} + 0,75 \cdot x + 2{\text{ = 0}} \cr & {{\text{x}}_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & a = - 0,05 \cr & b = 0,75 \cr & c = 2 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - 0,75 \pm \sqrt {{{0,75}^2} - 4 \cdot ( - 0,05) \cdot 2} }}{{2 \cdot \left( { - 0,05} \right)}} = \dfrac{{0,75 \pm \sqrt {0,9625} }}{{0,1}} \cr & {x_1} = 17,31m \cr & \left( {{x_2} = - 2,31m} \right) \cr} \)
→ Die Kugel schlägt in einer horizontalen Entfernung von rund 17,31 m am Boden auf.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Abstoßhöhe beträgt 2 m
2. Teilaufgabe
Die Kugel schlägt in einer horizontalen Entfernung von rund 17,31 m am Boden auf.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 x C: für das richtige Angeben der Abstoßhöhe
2. Teilaufgabe
1 x B: für das richtige Ermitteln der Stoßweite