Aufgabe 4214
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kochzeit von Eiern - Aufgabe A_289
Teil c
Die Kochzeit für weich gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 5,5 min und der Standardabweichung σ = 0,35 min.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie dasjenige um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem die Kochzeit für ein zufällig ausgewähltes Ei mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
[1 Punkt]
Die Kochzeit für hart gekochte Eier ist unter bestimmten Bedingungen annähernd normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 9 min und der Standardabweichung σ = 0,5 min. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
X ... Kochzeit für hart gekochte Eier in min
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die auf diese Dichtefunktion nicht zutreffende Aussage an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
- Aussage 1: \(P\left( {X \ge 9} \right) = 0,5\)
- Aussage 2: \(P\left( {X \ge 10} \right) = P\left( {X \le 8} \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {8,5 \le X \le 9,5} \right) \approx 0,68\)
- Aussage 4: \(P\left( {8 \le X \le 10} \right) = 1 - P\left( {X \ge 10} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {7 \le X \le 11} \right) \approx 1\)
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatz durch Geogebra
- Erwartungswert μ = 5,5
- Standardabweichung σ = 0,35
- untere Grenze: Fläche links von der unteren Grenze: \(\dfrac{{1 - 0,9}}{2} = 0,05\)
- Syntax: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[5.5,0.35, 0.05] → x1 = 4,9243
- Erwartungswert μ = 5,5
- Standardabweichung σ = 0,35
- obere Grenze: Fläche links von der unteren Grenze: \(\dfrac{{1 - 0,9}}{2} + 0,9 = 0,95\)
- Syntax: InversNormal[ <Mittelwert>, <Standardabweichung>, <Wahrscheinlichkeit> ]
- Geogebra - CAS Ansicht: InversNormal[5.5,0.35, 0.95] → x2 = 6,0757
→ Das um den Erwartungswert symmetrische Intervall lautet: [4,92 min; 6,08 min]
2. Teilaufgabe
Mit Hilfe der Dichtefunktion bewerten wir die 5 Aussagen wie folgt:
- Aussage 1: Zutreffend, weil es sich dabei um die rechte Hälfte der Fläche unter der Gaußkurve handelt und daher 0,5 bzw. 50% der Kochzeiten dort liegen werden. Der Erwartungswert μ = 9 min teilt die Fläche ja exakt in 2 Stk 50%-Hälften
- Aussage 2: Zutreffend, weil die beiden Grenzen 8 bzw. 10 symmetrisch bzw. gleich weit vom Erwartungswert 9 entfernt liegen, sind die Fläche links von 8 und die Fläche rechts von 10 flächengleich.
- Aussage 3: Zutreffend, weil im Bereich +/- 1 Standardabweichung vom Erwartungswert, die Wahrscheinlichkeit immer ca. 68% beträgt. (Anmerkung: für +/- 2σ sind es 95,5% und für +/- 3σ sind es 99,7%)
- Aussage 4: Nicht zutreffend, weil beim rechten Term die Werte für den Bereich links von 8 nicht abgezogen werden. Richtig wäre: \(P\left( {8 \leqslant X \leqslant 10} \right) = 1 - P\left( {X \geqslant 10} \right) - P(X \leqslant 8)\)
- Aussage 5: Zutreffend weil es sich um den +/- 3σ-Bereich handelt und in dem liegen 99,7% der Werte und \(0,997 \approx 1\) gilt.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
[4,92 min; 6,08 min]
2. Teilaufgabe
- Aussage 1: Zutreffend
- Aussage 2: Zutreffend
- Aussage 3: Zutreffend
- Aussage 4: Nicht zutreffend
- Aussage 5: Zutreffend
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Ermitteln des Intervalls
2. Teilaufgabe
× C: für das richtige Ankreuzen