Aufgabe 4325
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stadtturm - Aufgabe A_161
Teil a
Von einer neuen Parkanlage sieht man die Spitze des 51 m hohen Stadtturms unter dem Höhenwinkel α = 38,2°.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Berechnen Sie, um wie viel Meter man sich dem Stadtturm entlang der Strecke PF nähern muss, damit dieser unter dem doppelten Höhenwinkel zu sehen ist (siehe oben stehende Skizze).
[2 Punkte]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Vom Winkel Alpha aus gesehen ist die Höhe vom Stadtturm die Gegenkathete und die Strecke PF die Ankathete.
- Vom Winkel Beta aus gesehen ist die Höhe vom Stadtturm ebenfalls die Gegenkathete und die Strecke BF die Ankathete. Beta ist lt. Angabe doppelt so groß wie Alpha.
- Dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete entspricht der Tangens des jeweiligen Winkels.
Somit können wir wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} \tan \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Ankathete}}}} = \dfrac{{51}}{{PF}} \to PF = \dfrac{{51}}{{\tan \left( \alpha \right)}}\\ \tan \left( \beta \right) = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Ankathete}}}} = \dfrac{{51}}{{BF}} = \tan \left( {2\alpha } \right) \to BF = \dfrac{{51}}{{\tan \left( {2\alpha } \right)}}\\ \\ PB = PF - BF\\ PB = \dfrac{{51}}{{\tan \left( \alpha \right)}} - \dfrac{{51}}{{\tan \left( {2\alpha } \right)}} = \\ = \dfrac{{51}}{{\tan \left( {38.2^\circ } \right)}} - \dfrac{{51}}{{\tan \left( {76.4^\circ } \right)}} \approx 52,47 \end{array}\)
→ Man muss sich dem Stadtturm vom Punkt P aus um rund 52,47 m annähern.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Man muss sich dem Stadtturm vom Punkt P aus um rund 52,47 m annähern.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: für die Verwendung eines richtigen Modells zur Berechnung
1 × B: für die richtige Berechnung der Streckenlänge