Aufgabe 5673
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Feinstaub – Aufgabe A_327
Feinstaub in der Atemluft stellt ein Gesundheitsrisiko dar.
Teil a
An einer Messstelle in Graz wurde an einem bestimmten Tag von 5:00 Uhr bis 13:00 Uhr die Feinstaubbelastung gemessen. Die Funktion f beschreibt näherungsweise die Feinstaubbelastung
in Abhängigkeit von der Zeit.
\(f\left( t \right) = - 1,4 \cdot {t^2} + 11 \cdot t + 47{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 8\)
- t ... Zeit in h mit t = 0 für 5:00 Uhr
- f(t) ... Feinstaubbelastung zur Zeit t in μg/m3
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie das Ergebnis der nachstehenden Berechnung im gegebenen Sachzusammenhang.
Es gilt:
\(\eqalign{
& {t_1} = 0{\text{h}} \cr
& {{\text{t}}_2} = 4{\text{h}} \cr
& \dfrac{{f\left( {{t_2}} \right) - f\left( {{t_1}} \right)}}{{{t_2} - {t_1}}} = 5,4 \cr} \)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie diejenige Uhrzeit, zu der f‘(t) =–10 gilt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Die gegebene Gleichung entspricht der Formel für die mittlere Änderung, bzw. dem Differenzenquotient. Somit können wir wie folgt interpretieren:
- Im Zeitintervall [0; 4] steigt die Feinstaubbelastung um durchschnittlich 5,4 μg/m3 pro Stunde an.
- Das Ergebnis gibt die mittlere Änderungsrate der Feinstaubbelastung im Zeitintervall [0; 4] an.
2. Teilaufgabe
Wir bilden die 1. Ableitung der gegebenen Funktion und setzen diese dem gegebenen Funktionswert -10 gleich. Danach machen wir t explizit.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = - 1,4 \cdot {t^2} + 11 \cdot t + 47 \cr & f'\left( t \right) = - 1,4 \cdot 2 \cdot t + 11 = - 2,8 \cdot t + 11 \cr & \cr & - 2,8 \cdot t + 11 = - 10\,\,\,\,\,\left| { - 11\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.} \right. \cr & 2,8 \cdot t = 21 \cr & t = \dfrac{{21}}{{2,8}} = 7,5 \cr & \cr & t = 7,5 \cr} \)
Die Messung beginnt laut Angabe um 05:00. Nach einer Messdauer von 7,5 Stunden zeigt die Uhr somit 12:30 an.
→ Uhrzeit: 12:30 Uhr
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Im Zeitintervall [0; 4] steigt die Feinstaubbelastung um durchschnittlich 5,4 μg/m3 pro Stunde an.
- Das Ergebnis gibt die mittlere Änderungsrate der Feinstaubbelastung im Zeitintervall [0; 4] an.
2. Teilaufgabe
Uhrzeit: 12:30 Uhr
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Interpretieren im gegebenen Sachzusammenhang.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Uhrzeit.