Aufgabe 5679
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sonnenblumen – Aufgabe A_329
Teil a
Die Höhe einer bestimmten Sonnenblume lasst sich in Abhängigkeit von der Zeit t näherungsweise durch die zwei quadratischen Funktionen f und g beschreiben. Die Graphen dieser beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. (Siehe unten stehende Abbildung.)
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \frac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 21 \cr & g\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c{\text{ mit }}21 \leqslant t \leqslant 42 \cr} \)
- t ∈ [0; 42] ... Zeit ab dem Beobachtungsbeginn in Tagen
- f(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
- g(t) ... Höhe der Sonnenblume zum Zeitpunkt t in cm
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Tragen Sie in der obigen Abbildung den fehlenden Wert der Achsenbeschriftung in das dafür vorgesehene Kästchen ein.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b und c der Funktion g.
[0 / 1 / 2 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
In das vorgesehene Kästchen ist jener Funktionswert einzutragen, der sich an der Stelle t=0 ergibt:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5 \cr & f\left( {t = 0} \right) = \dfrac{1}{{15}} \cdot {0^2} + 0,2 \cdot 0 + 5 = 5 \cr} \)
→ Der gesuchte Wert auf der y-Achse beträgt 5
2. Teilaufgabe:
Wir sollen die 3 Koeffizienten a, b und c berechnen, dafür benötigen wir 3 Gleichungen, die für die Gleichung g gelten.
- Wir kennen zwei Argumente (21, 42) samt den zugehörigen Funktionswerten (38,6 und 72,2).
- Den Punkt (0|5) können wir nicht verwenden, denn dieser Punkt liegt auf der Funktion f und nicht auf der Funktion g. Aber:
- Die Graphen der beiden Funktionen gehen im Punkt P mit gleicher Steigung ineinander über. Das bedeutet, dass deren 1. Ableitungen im Punkt P gleich sein müssen, bzw. dass die beiden Tangenten die gleiche Steigung haben.
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = \dfrac{1}{{15}} \cdot {t^2} + 0,2 \cdot t + 5{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 21 \cr & f'\left( t \right) = 2 \cdot \dfrac{1}{{15}} \cdot t + 0,2 \cr & \cr & g\left( t \right) = a \cdot {t^2} + b \cdot t + c{\text{ mit 21}} \leqslant {\text{t}} \leqslant {\text{42}} \cr & g'\left( t \right) = 2 \cdot a \cdot t + b \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: g}}\left( {t = 21} \right) = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}g(t = 42) = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: g'}}\left( {t = 21} \right) = f'\left( {t = 21} \right) \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: }}a \cdot {21^2} + b \cdot 21 + c = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: a}} \cdot {\text{4}}{{\text{2}}^2} + b \cdot 42 + c = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: 2}} \cdot {\text{a}} \cdot {\text{21 + b = }}\dfrac{2}{{15}} \cdot 21 + 0,2 \cr & \cr & {21^2} \cdot a + 21 \cdot b + c = 38,6 \cr & {42^2} \cdot a + 42 \cdot b + c = 72,2 \cr & 42 \cdot a + b = 3 \cr & \cr & {\text{nicht gefragt:}} \cr & a \approx - 0,0666 \cr & b \approx 5,8 \cr & c \approx - 53,8 \cr & \cr & g(t) = - 0,0666 \cdot {t^2} + 5,8 \cdot t - 53,8 \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1: g}}\left( {21} \right) = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}g(42) = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: g'}}\left( {21} \right) = f'\left( {t = 21} \right) \cr & \cr & {\text{Gl}}{\text{.1: }}{21^2} \cdot a + 21 \cdot b + c = 38,6 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: 4}}{2^2} \cdot a + 42 \cdot b + c = 72,2 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: }}42 \cdot a + b = 3 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Eintragen des richtigen Wertes.
2. Teilaufgabe
- Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichungen mithilfe der Koordinaten der Punkte.
- Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung mithilfe der 1. Ableitung.