Aufgabe 4034
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgaben
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Dreieckspannung - Aufgabe B_414
Teil a
Gegeben ist folgender periodischer dreieckförmiger Spannungsverlauf
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie die Funktionsgleichungen des in Abbildung 1 dargestellten dreieckförmigen Spannungsverlaufs auf geeigneten Teilintervallen des Bereichs 0 ≤ t ≤ 2π. [2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Effektivwert des in obiger Abbildung dargestellten dreieckförmigen Spannungsverlaufs.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Veranschaulichen Sie die Ableitungsfunktion des in Abbildung 1 dargestellten dreieckförmigen Spannungsverlaufs im Intervall 0 ≤ t ≤ 2π im nachstehenden Diagramm.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir müssen das Intervall \(0 \leqslant t \leqslant 2\pi \) in 3 Teilintervalle aufbrechen und dort die jeweils gültige Funktionsgleichung gemäß der Illustration wie folgt aufstellen:
Anmerkung: Wir benützen x und t sowie y(x) und u(t) synonym.
1. Teilintervall: \(0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}\):
- Es liegt eine lineare Funktion vom Typ \(y = k \cdot x + d\) vor
- d kann man sofort ablesen, denn es handelt sich um den Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse: d=5
- Die Steigung k errechnen wir wie folgt: \(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 5}}{{\dfrac{\pi }{2}}} = - \dfrac{{10}}{\pi }\)
\(u\left( t \right) = - \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t + 5{\text{ im Bereich }}0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}\)
2. Teilintervall: \(\dfrac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \dfrac{{3\pi }}{2}\)
- Es liegt eine lineare Funktion vom Typ \(y = k \cdot x + d\) vor, die aber sehr einfach ist: k=0 und d=0
\(u\left( t \right) = 0{\text{ im Bereich }}\dfrac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \dfrac{{3\pi }}{2}\)
3. Teilintervall: \(\dfrac{{3\pi }}{2} \leqslant t \leqslant 2\pi \)
- Es liegt eine lineare Funktion vom Typ \(y = k \cdot x + d\) vor
- Die Steigung k muss den gleichen Betrag wie im 1. Teilintervall, aber ein positives Vorzeichen haben, da die Gerade ansteigt und daher \(\Delta y > 0{\text{ und }}\Delta y > 0 \to k > 0\) somit \(k = \dfrac{{10}}{\pi }\)
- Wir kennen 2 Punkte die auf der Geraden liegen \({P_1}\left( {\dfrac{{3\pi }}{2}\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}{P_2}\left( {2\pi \left| 5 \right.} \right)\) und daher deren Gleichung erfüllen müssen:
- \(\eqalign{ & y\left( {x = 2\pi } \right) = 5 = \dfrac{{10}}{\pi } \cdot 2\pi + d \to 5 = 20 + d \to d = - 15 \cr & y\left( {x = \dfrac{{3\pi }}{2}} \right) = 0 = \frac{{10}}{\pi } \cdot d\frac{{3\pi }}{2} + d \to 15 + d = 0 \to d = - 15 \cr} \)
\(u\left( t \right) = \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t - 15{\text{ im Bereich }}\dfrac{{3\pi }}{2} \leqslant t \leqslant 2\pi \)
2. Teilaufgabe
Der Effektivwert wird auch quadratischer zeitlicher Mittelwert genannt. Für eine beliebige - nicht notwendiger Weise sinunsförmige - Kurvenform berechnet sich der Effektivwert gemäß der Formel
\({u_{eff}} = \sqrt {\dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + T} {{u^2}\left( t \right)} \,\,dt} \)
Die Periodendauer beträgt \(T = 2\pi \)
Hinweis zum elektrotechnischen Hintergrund des Effektivwerts einer Wechselgröße
Unter dem - zeitlich konstanten - Effektivwerten Ueff, Ieff einer zeitabhängigen Wechselspannung u(t) bzw. Wechselstroms i(t) versteht man das Äquivalent jener Gleichgröße U, I, die an einem ohm’schen Widerstand während einer Periode die gleiche Energie umsetzt.
Nun zum gegenständlichen Beispiel
Damit der Ausdruck etwas übersichtlicher wird, eliminieren wir auf der rechten Seite der Gleichung die Wurzel und erhalten daher auf der linken Seite das Quadrat vom Effektivwert der Spannung. Letztlich müssen wir dann natürlich die Wurzel wieder ziehen um ueff zu erhalten.
\(\eqalign{ & {u_{eff}}^2 = \dfrac{1}{{2\pi }}\left[ {\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\left( { - \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t + 5} \right)}^2}\,\,dt + \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {{{\left( 0 \right)}^2}\,\,dt + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {{{\left( {\frac{{10}}{\pi } - 15} \right)}^2}\,\,dt} } } } \right] \cr & {u_{eff}}^2 = \dfrac{1}{{2\pi }}\left[ {\left( {\dfrac{{25\pi }}{6}} \right) + 0 + \dfrac{{25\pi }}{6}} \right] = \dfrac{1}{{2\pi }} \cdot \left[ {\dfrac{{50\pi }}{6}} \right] = \dfrac{{25}}{6} \cr & {u_{eff = }}\sqrt {\dfrac{{{5^2}}}{6}} = \dfrac{5}{{\sqrt 6 }} \approx 2,041\,\,V \cr} \)
Wir haben das bestimmte Integral in der rechteckigen Klammer mittels Technologieeinsatz gelöst:
Geogebra:
Integral[<Funktion>, <Variable>, <Startwert>, <Endwert>]
Berechnet das bestimmte Integral im Intervall [Startwert , Endwert] nach der gegebenen Variable.
3. Teilaufgabe:
Wir müssen das Intervall \(0 \leqslant t \leqslant 2\pi \) in 3 Teilintervalle aufbrechen und dort die 1. Ableitung der aus der 1. Teilaufgabe bekannten Funktion u(t) wie folgt aufstellen
1. Teilintervall: \(0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}\)
\(\eqalign{ & u\left( t \right) = - \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t + 5 \cr & u'\left( t \right) = - \dfrac{{10}}{\pi } \cr} \)
2. Teilintervall: \(\dfrac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \dfrac{{3\pi }}{2}\)
\(\eqalign{ & u\left( t \right) = 0 \cr & u'\left( t \right) = 0 \cr} \)
3. Teilintervall: \(\dfrac{{3\pi }}{2} \leqslant t \leqslant 2\pi \)
\(\eqalign{ & u\left( t \right) = \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t - 15 \cr & u'\left( t \right) = \dfrac{{10}}{\pi } \cr} \)
Mit diesem Wissen können wir die Ableitungsfunktionen für jede der 3 Teilbereiche in die Illustration wie folgt einzeichnen:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(u\left( t \right) = - \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t + 5{\text{ im Bereich }}0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}\)
\(u\left( t \right) = 0{\text{ im Bereich }}\dfrac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \dfrac{{3\pi }}{2}\)
\(u\left( t \right) = \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t - 15{\text{ im Bereich }}\dfrac{{3\pi }}{2} \leqslant t \leqslant 2\pi \)
2. Teilaufgabe:
\({u_{eff}} \approx 2,041\,\,V\)
3. Teilaufgabe:
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A1: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung im Intervall \(0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}\) (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Funktionsgleichung im Intervall \(\dfrac{{3\pi }}{2} \leqslant t \leqslant 2\pi \) (KB)
2. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung des Effektivwerts (KB)
3. Teilaufgabe:
× A3: für das richtige Veranschaulichen der Ableitungsfunktion (Es ist nicht gefordert, die Definitionslücken zu berücksichtigen.) (KB)