Aufgabe 4035
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B-Aufgaben
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Dreieckspannung - Aufgabe B_414
Teil b
Der in obiger Abbildung dargestellte dreieckförmige Spannungsverlauf kann mithilfe einer Fourier-Reihe beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie anhand der grafischen Darstellung, warum die Fourier-Koeffizienten der Sinusschwingungen 0 sein müssen.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie den Gleichanteil der in obiger Abbildung 1 dargestellten Spannung.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Periodische Funktionen können als (additive) Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen (Superposition) beliebig genau durch Fourier Reihen approximiert werden.
- Es handelt sich um eine Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\). Eine solche Funktion nennt man eine gerade Funktion. Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion
- Bei der Fourier’schen Reihenentwicklung einer geraden Funktion reichen die ebenfalls geraden Kosinusfunktionen zur Approximierung aus, die Fourier-Koeffizienten der ungeraden Sinusschwingungen sind null.
2. Teilaufgabe:
Wir stellen zunächst einen ganz einfachen Lösungsweg vor, der auf geometrischen Überlegungen basiert:
1. Schritt:
Der Gleichanteil muss den selben Flächeninhalt haben wie Summe der beiden rechtwinkeligen Dreiecke. Im rechtwinkeligen Dreieck gilt: Fläche ist gleich Seite mal halber zugehöriger Höhe. Für die beiden rechtwinkeligen Dreiecke zusammengezählt gilt:
\(2 \cdot {A_\vartriangle } = 2 \cdot a \cdot \dfrac{{{h_a}}}{2} = 2 \cdot \dfrac{\pi }{2} \cdot \dfrac{5}{2} = 2,5 \cdot \pi \)
2. Schritt:
Dieser doppelte Dreiecksfläche ist nun in eine Rechtecksfläche \({A_\square } = \overline u \cdot T\) umzurechnen, wobei wir die eine Seite wir wegen \(T = 2\pi \) kennen und die andere Seite wie folgt errechnen:
\(\overline u = \dfrac{{2,5 \cdot \pi }}{{2 \cdot \pi }} = 1,25\)
Alternativ und ganz allgemein, aber wesentlich aufwändiger kann man auch wie folgt rechnen:
Der Gleichanteil einer Fourrie Reihenentwicklung ist der arithmetische Mittelwert der Zeitfunktion. Er errechnet sich zu
\(\dfrac{{{a_0}}}{2} = \overline u = \dfrac{1}{T} \cdot \int\limits_t^{t + T} {f\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit T = 2}}\pi \)
Wir betrachten auf Grund der Symmetrie nur das 1. Halbintervall \(0 \leqslant t \leqslant \pi \) . Im 2. Halbintervall \(\pi \leqslant t \leqslant 2\pi \) muss der Gleichanteil gleich hoch wie im 1. Halbintervall sein.
Dieses 1. Halbintervall müssen wir nun wieder in 2 Teilbereiche zerlegen:
\(\eqalign{ & {\text{im Bereich }}0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}:\,\,\,\,\,{u_1}\left( t \right) = - \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t + 5{\text{ }} \cr & {\text{im Bereich }}\dfrac{\pi }{2} \leqslant t \leqslant \pi :\,\,\,\,\,{u_2}\left( t \right) = 0{\text{ }} \to \overline {{u_2}} = 0 \cr} \)
somit ergibt sich für das ganze 1. Halbintervall:
\(0 \leqslant t \leqslant \pi :\,\,\,\,\,\overline u = \dfrac{1}{\pi } \cdot \left[ {\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{u_1}\left( t \right)} \,\,dt + 0} \right]\)
Achtung:
- Für das 1. Halbintervall gilt: \(T = \pi \)
- aber das Integral hat als obere Grenze \(\dfrac{\pi }{2}\) gemäß seinen Bereichsgrenzen \(0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi }{2}\)
Nachdem das Klargestellt ist, rechnen wir wie folgt weiter:
\(\eqalign{ & \overline u = \dfrac{1}{\pi } \cdot \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( { - \dfrac{{10}}{\pi } \cdot t + 5} \right)} \,\,dt + 0 = \dfrac{1}{\pi } \cdot \left[ { - \dfrac{{10}}{{2\pi }} \cdot {t^2} + 5t} \right]_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \cr & = \dfrac{1}{\pi } \cdot \left[ { - \frac{{10}}{{2\pi }} \cdot \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} + 5 \cdot \dfrac{\pi }{2} - 0} \right] = \dfrac{1}{\pi } \cdot \left[ { - \dfrac{{5\pi }}{4} + \frac{{10\pi }}{4}} \right] = \dfrac{1}{\pi } \cdot \dfrac{{5\pi }}{4} = \dfrac{5}{4} = 1,25 \cr} \)
Anmerkung - mit einem Augenzwinkern: Das ist die Art von Aufgabenstellungen mit denen du während eines Elektrotechnikstudiums an einer TU konfrontiert wirst. Elektrotechnik an einer TU ist sehr stark "angewandte Mathematik".
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
- Periodische Funktionen können als (additive) Überlagerung von Sinus- und Kosinusfunktionen (Superposition) beliebig genau durch Fourier Reihen approximiert werden.
- Es handelt sich um eine Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\). Eine solche Funktion nennt man eine gerade Funktion. Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Die Kosinusfunktion ist eine gerade Funktion
- Bei der Fourier’schen Reihenentwicklung einer geraden Funktion reichen die ebenfalls geraden Kosinusfunktionen zur Approximierung aus, die Fourier-Koeffizienten der ungeraden Sinusschwingungen sind null.
2. Teilaufgabe:
\(\overline u = 1,25V\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × D: für die richtige Argumentation (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: für das richtige Ermitteln des Gleichanteils (KA)