Aufgabe 4041
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Kräfte - Aufgabe B_406
Teil b
Drei Kräfte \(\overrightarrow {{F_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {800}\\ {200}\\ {700} \end{array}} \right){\rm{ N}}\) ; \(\overrightarrow {{F_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 100}\\ {700}\\ { - 400} \end{array}} \right){\rm{ N}}\) und \(\overrightarrow {{F_3}} \) greifen an einem Körper in einem Punkt an und halten einander das Gleichgewicht, d. h.: \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 0\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie \(\overrightarrow {{F_3}} \)
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Betrag von \(\overrightarrow {{F_3}} \)
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie denjenigen Winkel, den \(\overrightarrow {{F_1}}\) und \(\overrightarrow {{F_2}}\) einschließen
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Damit Kräftegleichgewicht herrscht, dh sich die 3 Kräfte gegenseitig auf null kompensieren, muss die Summe der Kräfte F1 und F2 entgegenrichtet gleich groß wie F3 sein.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 0\\ \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {800}\\ {200}\\ {700} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 100}\\ {700}\\ { - 400} \end{array}} \right) = - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{3x}}}\\ {{F_{3y}}}\\ {{F_{3z}}} \end{array}} \right)\\ - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_{3x}}}\\ {{F_{3y}}}\\ {{F_{3z}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {800 - 100}\\ {200 + 700}\\ {700 - 400} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {700}\\ {900}\\ {300} \end{array}} \right)\\ \\ \overrightarrow {{F_3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 700}\\ { - 900}\\ { - 300} \end{array}} \right) \end{array}\)
2. Teilaufgabe:
Der Betrag eines Vektors errechnet sich gemäß
\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {{{\left( {{F_{3x}}} \right)}^2} + {{\left( {{F_{3y}}} \right)}^2} + {{\left( {{F_{3z}}} \right)}^2}} \)
durch einsetzen erhält man für
\(\overrightarrow {{F_3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 700}\\ { - 900}\\ { - 300} \end{array}} \right)\)
dessen Betrag zu:
\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 700} \right)}^2} + {{\left( { - 900} \right)}^2} + {{\left( { - 300} \right)}^2}} = 1\,178,98N\)
3. Teilaufgabe
Der Winkel zwischen 2 Vektoren errechnet sich gemäß
\(\varphi = \arccos \dfrac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}}\)
Zuerst bilden wir das Skalarprodukt gemäß
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}} \end{array}} \right) = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y}\)
\(\overrightarrow {{F_1}} \cdot \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {800}\\ {200}\\ {700} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 100}\\ {700}\\ { - 400} \end{array}} \right) = \left( {800 \cdot \left( { - 100} \right)} \right) + \left( {200 \cdot 700} \right) + \left( {700 \cdot - 400} \right) = - 220\,000\)
Dann berechnen wir die beiden Beträge gemäß
\(\begin{array}{l} \left| {{F_1}} \right| = \sqrt {{{800}^2} + {{200}^2} + {{700}^2}} = 1\,081,67\\ \left| {{F_2}} \right| = \sqrt {{{100}^2} + {{700}^2} + {{400}^2}} = 812,4 \end{array}\)
Durch einsetzen in die Formel vom Winkel zwischen 2 Vektoren erhalten wir wie folgt
\(\varphi = \arccos \dfrac{{\left( { - 220\,000} \right)}}{{1\,081,67 \cdot 812,4}} = \arccos \left( { - 0,25} \right) \approx 104,48^\circ \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(\overrightarrow {{F_3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 700}\\ { - 900}\\ { - 300} \end{array}} \right)\)
2. Teilaufgabe:
\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 1\,178,98N\)
3. Teilaufgabe:
\(\varphi \approx 104,48^\circ \)
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe:
1 × B1: für die richtige Berechnung des Vektors F3 (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B2: für die richtige Berechnung des Betrags des Vektors F3 (KB)
3. Teilaufgabe:
1 × B3: für das richtige Ermitteln des Winkels (KB)