Aufgabe 4058
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Straßenbau - Aufgabe B_408
Teil c
Ein Straßenabschnitt soll an einem Berghang entlang führen. Der Querschnitt der geplanten Trasse ist in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
Die Seite b ist 15 m und die Seite c ist 11,8 m lang. Der Winkel beträgt α = 116,6°.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von a, b und c eingeschlossenen Dreiecks.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge der Seite a.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Fläche eines allgemeinen, nicht rechtwinkeligen Dreiecks errechnet man bei 2 gegebenen Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Winkel gemäß folgender Formel:
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \left( {\angle ab} \right)\)
Wir setzen wie folgt ein und erhalten:
\(A = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11,8 \cdot \sin \left( {116,6^\circ } \right) \approx 79,13\)
→ Der Flächeninhalt beträgt rund 79,13 m2.
2. Teilaufgabe:
Der Kosinussatz kann angewendet werden, wenn von einem nicht rechtwinkeligen Dreieck 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind und die 3. Seite berechnet werden soll:
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( {\angle bc} \right)\)
Durch Einsetzen und Wurzelziehen erhalten wir:
\(\begin{array}{l} a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ \sqrt {{{15}^2} + {{11,8}^2} - 2 \cdot 15 \cdot 11,8 \cdot \cos \left( {116,6^\circ } \right)} \approx 22,86m \end{array}\)
→ Die Seite a ist rund 22,8 m lang.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Flächeninhalt beträgt rund 79,13 m2.
2. Teilaufgabe
Die Seite a ist rund 22,8 m lang.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B1: für die richtige Berechnung des Flächeninhalts (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B2: für die richtige Berechnung der Länge der Seite a (KA)