Aufgabe 4107
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohrproduktion - Aufgabe B_089
Teil c
Ein anderes Unternehmen stellt Keramikrohre her. Von der quadratischen Erlösfunktion E ist für den Absatz von 10 ME bekannt:
- E(10) = 15
- E′(10) = –1,5
- E″(10) = –0,6
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage über den Erlös bei einem Absatz von 11 ME an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
- Aussage 1: E(11)=13,2
- Aussage 2: E(11)=13,5
- Aussage 3: E(11)=14,1
- Aussage 4: E(11)=16,2
- Aussage 5: E(11)=16,5
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Gemäß Angabe ist die Erlösfunktion eine quadratische Gleichung vom Typ \(a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 0\) . D.h, wir benötigen 3 Gleichungen um die drei Unbekannten a, b und c zu berechnen.
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.1:}}{\text{ }}E\left( {x = 10} \right) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c = 15 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}E'\left( {x = 10} \right) = 2 \cdot a \cdot x + b = - 1,5 \cr & {\text{Gl}}{\text{.3: }}E''\left( {x = 10} \right) = 2 \cdot a = - 0,6 \cr} \)
Mit Hilfe dieser 3 Bestimmungsgleichungen können wir nun a, b und c ausrechnen
\(\eqalign{ & {\text{Gl}}{\text{.3: }}a = - \dfrac{{0,6}}{2} = - 0,3 \cr & {\text{Gl}}{\text{.2: }}2 \cdot \left( { - 0,3} \right) \cdot 10 + b = - 1,5 \to b = - 1,5 + 6 = 4,5 \cr & \operatorname{Gl} .1:{\text{ }}\left( { - 0,3} \right) \cdot 100 + 4,5 \cdot 10 + c = 15 \to c = 0 \cr} \)
Somit kennen wir die quadratische Erlösfunktion zu:
\(E(x) = - 0,3 \cdot {x^2} + 4,5 \cdot x\)
Belcibt noch den Funktionswert an der Stelle x=11 auszurechnen:
\(E(x = 11) = - 0,3 \cdot {11^2} + 4,5 \cdot 11 = 13,2 \to {\text{Aussage 1}}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
- Aussage 1: richtig
- Aussage 2: falsch
- Aussage 3: falsch
- Aussage 4: falsch
- Aussage 5: falsch
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: Für das richtige Ankreuzen (KB)