Aufgabe 4110
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Baugrundstücke - Aufgabe B_090
Teil b
Frau Maier möchte ein Baugrundstück verkaufen. Sie bekommt zwei Angebote.
- Herr Altmann bietet € 150.000 sofort bei Vertragsabschluss und € 50.000 nach 2 Jahren.
- Frau Bogner bietet € 202.000 ein Jahr nach Vertragsabschluss.
Frau Maier vergleicht die beiden Angebote.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Weisen Sie für einen Zinssatz von 3 % p. a. nach, dass sich die beiden Angebote zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses um rund € 1.013 unterscheiden.
[1 Punkt]
Für die beiden Angebote wird folgende Gleichung aufgestellt:
\(150000 \cdot {x^2} + 50000 = 202000 \cdot x\)
Eine Lösung dieser Gleichung ist x ≈ 1,0198.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie die Bedeutung von x im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Anfangskapital K0 gesucht - Diskontierung gemäß Leibniz‘scher Zinseszinsformel. Dh wir rechnen alle Zahlungen auf den Zeitpunkt vom Vertragsabschluss um.
\({K_0} = \dfrac{{{K_n}}}{{{q^n}}} = \dfrac{{{K_n}}}{{{{\left( {1 + \dfrac{p}{{100}}} \right)}^n}}}\)
Wir berechnen den Aufzinsungsfaktor für den gegebenen kalkulatorischen Zinssatz von 3%
\(q(p = 3\% ):q = 1 + \dfrac{p}{{100}} = 1 + \dfrac{3}{{100}} = 1,03\)
Angebot Hr. Altmann: Sofort + nach 2 Jahren - wir müssen die 50.000 um 2 Jahre abzinsen
\(150000 + \dfrac{{50000}}{{{{1,03}^2}}} = 197\,\,129,795\)
Angebot Fr. Bogner: Sie zahlt nach 1 Jahr - wir müssen um 1 Jahr abzinsen:
\(\dfrac{{202\,\,000}}{{{{1,03}^1}}} = 196\,\,116,505\)
Angebot Hr. Altmann - Angebot Fr. Bogner:
\(197\,\,129,795 - 196\,\,116,505 = 1\,\,013,29\)
→ Die beiden Angebote unterscheiden sich zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses also um rund € 1.013.
2. Teilaufgabe:
Diesmal werden beide Angebote bezüglich des Endkapital gleichgesetzt. Bei Hr. Altmann muss die Anfangszahlung von 150.000€ um 2 Jahre aufgezinst werden, bei Fr. Bogner müssen die 202.000 € um 1 Jahr aufgezinst werden.
Für die beiden Angebote wird folgende Gleichung aufgestellt:
\(150000 \cdot {x^2} + 50000 = 202000 \cdot x\)
Eine Lösung dieser Gleichung ist x ≈ 1,0198. Daraus errechnet sich ein Zinssatz p von 1,98%.
→ Bei einem kalkulatorischen Zinssatz von 1,98 % p. a. sind die beiden Angebote 2 Jahre nach Vertragsabschluss äquivalent.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Zieht man vom Angebot von Hr. Altmann jenes von Fr. Bogner ab, so unterscheiden sich die beiden Angebote zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses um rund € 1.013.
2. Teilaufgabe:
Bei einem kalkulatorischen Zinssatz von 1,98 % p. a. sind die beiden Angebote 2 Jahre nach Vertragsabschluss äquivalent.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × D: Für den richtigen Nachweis (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × C: Für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang (KA)