Aufgabe 4119
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Höhe der Wolkenuntergrenze - Aufgabe B_110
Die Höhe der Wolkenuntergrenze kann auf verschiedene Arten näherungsweise bestimmt werden.
Teil c
Eine Wolke wirft einen 150 m langen Schatten auf den Erdboden. Von A aus sieht man die Wolke unter dem Sehwinkel α = 4°. Der Einfallswinkel der parallelen Sonnenstrahlen gegenüber der Horizontalen betragt β = 30°.
Die folgende Abbildung stellt diese Situation vereinfacht und nicht maßstabsgetreu dar:
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die gegebenen Winkel α und β in die obige Abbildung ein.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Entfernung BC.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Höhe h.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Der Einfallswinkel der Sonne beträgt sowohl von A als auch von B aus 30° gegenüber der Horizontalen.
- Von A aus sieht man den Punkt C auf der Wolke unter einem Sehwinkel von 4° gegenüber dem Sonnenstrahl.
2. Teilaufgabe:
Damit wir die Winkelfunktionen verwenden können, müssen wir ein geeignetes rechtwinkeliges Dreieck finden. Alternativ können wir auch mit dem Sinussatz und dem nicht-rechtwinkeligen Dreieck ABC arbeiten:
1. Variante: Wir wenden den Sinus-Satz an:
Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz gilt auch in Dreiecken OHNE rechtem Winkel. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.
\(\dfrac{a}{{\sin \left( \alpha \right)}} = \dfrac{b}{{\sin \left( \beta \right)}} = \dfrac{c}{{\sin \left( \gamma \right)}}\)
Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln α, β und γ gegenüber liegen.
Wir kennen 1 Seite und 2 Winkel: Der Seite BC liegt der Winkel von 26° gegenüber, der Seite 150 m liegt der Winkel 4° gegenüber, sodass der Sinussatz wie folgt lautet:
\(\eqalign{ & \dfrac{{\overline {BC} }}{{\sin \left( {26^\circ } \right)}} = \dfrac{{150}}{{\sin \left( {4^\circ } \right)}} \cr & \overline {BC} = \dfrac{{150}}{{\sin \left( {4^\circ } \right)}} \cdot \sin \left( {26^\circ } \right) \cr & \overline {BC} \approx 942,6{\text{m}} \cr} \)
→ Die Entfernung BC beträgt rund 943 m.
2. Variante: Wer nicht auf die Idee kommt, den Sinussatz anzuwenden, kann die Aufgabe mit wesentlich mehr Rechenaufwand auch wie folgt lösen:
Damit wir die Winkelfunktionen verwenden können, müssen wir ein geeignetes rechtwinkeliges Dreieck finden. Welches wir im Dreieck BCL auch tatsächlich finden:
\(\eqalign{ & \vartriangle BCL:\overline {LC} = \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cr & \vartriangle ACL:\overline {LC} = \overline {AC} \cdot \sin \left( {26^\circ } \right) \cr & \vartriangle ACL:150 + \overline {BC} \cdot cos\left( {30^\circ } \right) = \overline {AC} \cdot \sin \left( {\left( {90^\circ - 30^\circ } \right) + 4^\circ } \right) \cr & \cr & \overline {LC} = \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cr & \overline {LC} = \overline {AC} \cdot \sin \left( {26^\circ } \right) \cr & \overline {AC} = \dfrac{{150 + \overline {BC} \cdot cos\left( {30^\circ } \right)}}{{\sin \left( {64^\circ } \right)}} \cr & \cr & {\text{wir setzen Gl}}{\text{.3 in Gl}}{\text{.2 ein}} \cr & \overline {LC} = \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cr & \overline {LC} = \dfrac{{150 + \overline {BC} \cdot cos\left( {30^\circ } \right)}}{{\sin \left( {64^\circ } \right)}} \cdot \sin \left( {26} \right) \cr & \cr & {\text{nun setzen wir für LC in Gl}}{\text{. 1 ein}} \cr & \dfrac{{150 + \overline {BC} \cdot cos\left( {30^\circ } \right)}}{{\sin \left( {64^\circ } \right)}} \cdot \sin \left( {26} \right) = \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cr & \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot \dfrac{{\sin \left( {64} \right)}}{{\sin \left( {26} \right)}} = 150 + \overline {BC} \cdot cos\left( {30^\circ } \right) \cr & \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cdot \dfrac{{\sin \left( {64} \right)}}{{\sin \left( {26} \right)}} - \overline {BC} \cdot cos\left( {30^\circ } \right) = 150 \cr & \overline {BC} \left[ {sin\left( {30^\circ } \right) \cdot \dfrac{{\sin \left( {64} \right)}}{{\sin \left( {26} \right)}} - cos\left( {30^\circ } \right)} \right] = 150 \cr & \overline {BC} = \dfrac{{150}}{{sin\left( {30^\circ } \right) \cdot \frac{{\sin \left( {64} \right)}}{{\sin \left( {26} \right)}} - cos\left( {30^\circ } \right)}} = 942,65 \cr} \)
→ Die Entfernung BC beträgt rund 943 m.
3. Teilaufgabe:
Der Grafik aus der 2. Teilaufgabe entnehmen wir folgenden Zusammenhang:
\( \eqalign{ & \sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} \cr & \cr & \sin \left( {30^\circ } \right) = \dfrac{h}{{\overline {BC} }} \cr & h = \overline {BC} \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \cr & h \approx 942,65 \cdot \sin \left( {30^\circ } \right) \approx 471,3 \cr} \)
→ Die Höhe h beträgt rund 471 m
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
2. Teilaufgabe:
Die Entfernung BC beträgt rund 943 m.
3. Teilaufgabe:
Die Höhe h beträgt rund 471 m
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × C: Für das richtige Eintragen der beiden gegebenen Winkel (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B1: Für die richtige Berechnung der Entfernung BC (KB)
3. Teilaufgabe:
1 × B2: Für die richtige Berechnung der Höhe h (KB)