Erwartungswert Bernoulli Verteilung
\(E\left( X \right) = 1 \cdot p + 0 \cdot \left( {1 - 0} \right) = p\)
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Formeln
Bernoulli-Verteilung
Die Bernoulli Verteilung ist eine diskrete Verteilung, deren Zufallsvariable X nur zwei Werte annimmt: 0 = Misserfolg / Niete bzw. 1 = Erfolg / Treffer. Sie entsteht, wenn man ein Bernoulli Experiment (welches nur 2 mögliche Ausgänge hat) genau 1 Mal ausführt. Die Bernoulli Verteilung ist daher ein Spezialfall der Binomialverteilung für n=1.
X heißt Bernoulli-verteilt mit dem Parameter p:
p ... Wahrscheinlichkeit für das Auftreten vom Ereignis X bei einem Versuch, mit 0 < p < 1
\(\eqalign{ & \Omega = \left\{ {0;1} \right\} \cr & P(X = 1) = p \cr & P\left( {X = 0} \right) = 1 - p \cr}\)
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bernoulli-Verteilung
\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - p}&{für}&{x = 0}\\ p&{für}&{x = 1}\\ 0&{für}&{sonst.} \end{array}} \right.\)
Verteilungsfunktion der Bernoulli-Verteilung
\(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right) = \sum\limits_{{x_i} \leqslant x} {f\left( {{x_i}} \right)} \)
\(F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{}&{x < 0}&{}&{}\\ {1 - p}&{}&{x > 0}&{und}&{x < 1}\\ 1&{}&{x \ge 1}&{}&{} \end{array}} \right.\)
Erwartungswert der Bernoulli-Verteilung
\(E\left( X \right) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} \cdot f\left( {{x_i}} \right)} \)
\(E\left( X \right) = 1 \cdot p + 0 \cdot \left( {1 - 0} \right) = p\)
Varianz der Bernoulli-Verteilung
\(Var\left( X \right) = V\left( X \right) = {\sigma ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - E\left( x \right)} \right)}^2} \cdot f\left( {{x_i}} \right)} \)
\({\sigma ^2} = Var\left( X \right) = p \cdot \left( {1 - p} \right)\)
Standardabweichung der Bernoulli-Verteilung
\(\sigma = \sqrt {Var\left( X \right)} = \sqrt {p \cdot \left( {1 - p} \right)} \)
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Aufgaben
Aufgabe 1709
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 24. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Konfidenzintervall
Jemand möchte den unbekannten Anteil p derjenigen Wählerinnen und Wähler ermitteln, die bei einer Wahl für den Kandidaten A stimmen werden, und beauftragt ein Meinungsforschungsinstitut damit, diesen Anteil p zu schätzen. Im Zuge dieser Schätzung werden 200 Stichproben mit jeweils gleichem Umfang ermittelt. Für jede dieser Stichproben wird das entsprechende 95-%-Konfidenzintervall berechnet.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die erwartete Anzahl derjenigen Intervalle, die den unbekannten Anteil p enthalten!
[0 / 1 Punkt]
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