Formel von Bretschneider
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Formeln
Allgemeines Viereck
Ein Viereck ist eine Figur der ebenen Geometrie mit vier Eckpunkten, vier Seiten und zwei Diagonalen. Ein konvexes Viereck erfordert 5 Bestimmungsstücke, darunter muss mindestens eine Seite sein. 5 Bestimmungsstücke führen bei konkaven zu mehrdeutigen Lösungen
- Die Beschriftung der vier Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben A, B, C, D, beginnend mit der linken unteren Ecke und erfolgt gegen den Uhrzeigersinn
- Die Beschriftung der vier Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben, wobei: \(a = \overline {AB} ;\,\,\,\,\,b = \overline {BC} ;\,\,\,\,\,c = \overline {CD} ;\,\,\,\,\,d = \overline {DA} ;\)
- Die Beschriftung der vier Innenwinkel erfolgt mit griechischen Kleinbuchstaben, wobei den Scheitelpunkten A, B, C, D die Winkel \(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \) sprich Alpha, Beta, Gamma, Delta zugeordnet sind
- Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt 360°. Jedes Viereck lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen. Vier Innenwinkel zählen nur als drei Bestimmungsstücke, da sich der 4. Winke ergibt.
- Die Beschriftung der beiden Diagonalen erfolgt mit Kleinbuchstaben \(e = {d_1} = \overline {AC} ;\,\,\,\,\,f = {d_2} = \overline {BD} ;\)
- Das Viereck heißt konvex, wenn beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen. Liegt eine Diagonale außerhalb des Vierecks, so hat das Viereck eine konkave Ecke
- Spezielle Vierecke sind das Quadrat, das Rechteck, die Raute, das Deltoid, das Parallelogramm und das Trapez
- Es gibt Vierecke mit (Sehnenvierecke) und solche ohne Umkreis bzw. mit (Tangentenvierecke) und solche ohne Inkreis
Umfang vom allgemeinen Viereck
Der Umfang vom allgemeinen Viereck entspricht der Summe der vier Seiten
\(U = a + b + c + d\)
Winkelsumme im allgemeinen Viereck
Die Summe der Innenwinkel eines allgemeinen Vierecks beträgt 360°
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
Flächeninhalt vom allgemeinen Viereck
Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen berechnen
\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)
Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck
Die Länge der Diagonalen im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen
\(\eqalign{ & e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr} \)
Illustration eines allgemeinen Vierecks
Beispiel: Von einem allgemeinen Viereck, wie oben dargestellt, sind alle 4 Seiten und ein Winkel gegeben.
Berechne die beide Diagonalen und die drei fehlenden Innenwinkel!
Gegeben: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \)
Die Länge der 1. Diagonale e im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenem Winkel berechnen:
\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \)
Mit Hilfe vom 1. Teil des Kosinussatzes ergibt sich die 1. Diagonale e wie folgt:
\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \)
Mit Hilfe vom 2. Teil des Kosinussatzes berechnen wir den Winkel \(\angle cd = \delta \) wie folgt:
\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {e^2} = {c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| { - {c^2} - {d^2}} \right.\\ {e^2} - {c^2} - {d^2} = - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)} \right.\\ \cos \left( \delta \right) = \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{\left( { - 2 \cdot c \cdot d} \right)}}\\ \delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \end{array}\)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \)
Entlang der Diagonale e zerfällt das allgemeine Viereck in zwei allgemeine Dreiecke, deren Flächen wir wie folgt berechnen können:
\(\begin{array}{l} {A_1} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right)\\ {A_2} = \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \end{array}\)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\)
Die Fläche eines allgemeinen Vierecks kann man mit Hilfe der Formel von Bretschneider aus seinen vier Seiten und seinen beiden Diagonalen wie folgt berechnen:
\(A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \)
Die einzige Unbekannte in dieser Flächenformel ist die 2. Diagonale f, die wir wie folgt berechnen können:
\(\begin{array}{l} A = \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {A^{^2}} = \dfrac{1}{{16}} \cdot \left( {4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}} \right)\,\,\,\,\,\left| { \cdot 16} \right.\\ 16 \cdot {A^2} = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2} - {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\,\,\,\,\,\left| { + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,} \right.\\ 16 \cdot {A^2} + {\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)^2}\, = 4 \cdot {e^2} \cdot {f^2}\,\,\,\,\,\left| {:4{e^2}} \right.\\ {f^2} = \dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}\,\,\,\,\,\left| {\sqrt {} } \right.\\ f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \end{array}\)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d2=f
Mit Hilfe der bekannten Länge der 2. Diagonale f und zweier bekannter Seiten im allgemeinen Viereck kann man mit Hilfe vom Kosinussatz die jeweils eingeschlossenen Winkel \(\alpha ,\,\gamma \) wie folgt berechnen:
\(\eqalign{ & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \cr & f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right. \cr & {f^2} = {a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\left| - \right.\left( {{a^2} + {d^2}} \right) \cr & {f^2} - {a^2} - {d^2} = - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)\,\,\,\,\,\,\left| {:\left( { - 2 \cdot a \cdot d} \right)} \right. \cr & \cos \left( \alpha \right) = - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}} \cr & \alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \cr & \cr & {\text{analog anzuschreiben:}} \cr & \gamma = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {b^2} - {c^2}}}{{2 \cdot b \cdot c}}} \right) \cr & {\text{oder}} \cr & \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \cr & \gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \cr} \)
Wir kennen vom allgemeinen Viereck somit: a, b, c, d, \(\angle ab = \beta \), d1=e, \(\angle cd = \delta \), \(A = {A_1} + {A_2}\), d2=f, \(\angle da = \alpha \), \(\angle bc = \gamma \)
Anhand eines Zahlenbeispiels ergibt sich:
Die 4 Seiten und ein Winkel sind wie folgt gegeben:
\(\eqalign{ & a = 8{\text{ cm}} \cr & b = 5,1{\text{ cm}} \cr & c = 5,1{\text{ cm}} \cr & d = 4,47{\text{ cm}} \cr & \beta = 78,69^\circ \cr} \)
Wie setzen in obige Gleichungen ein, und erhalten
\(e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} \approx \sqrt {{8^2} + {{5,1}^2} - 2 \cdot 8*5,1*\cos \left( {78,69^\circ } \right)} \approx 8,6\)
\(\delta = \arccos \left( { - \dfrac{{{e^2} - {c^2} - {d^2}}}{{2 \cdot c \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{8,6}^2} - {{5,1}^2} - {{4,47}^2}}}{{2 \cdot 5,1 \cdot 4,47}}} \right) \approx 127,9^\circ \)
\(A = {A_1} + {A_2} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right) + \dfrac{{c \cdot d}}{2} \cdot \sin \left( \delta \right) \approx \dfrac{{8,6 \cdot 5,1}}{2}\sin \left( {78,69^\circ } \right) + \dfrac{{5,1 \cdot 4,47}}{2}\sin \left( {127,9^\circ } \right) \approx 30,5\)
\(f = \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {A^2} + {{\left( {{b^2} + {d^2} - {a^2} - {c^2}} \right)}^2}\,}}{{4 \cdot {e^2}}}} \approx \sqrt {\dfrac{{16 \cdot {{30,5}^2} + \left( {{{5,1}^2} + {{4,47}^2} + {8^2} - {{5,1}^2}} \right)}}{{4 \cdot {{8,6}^2}}}} \approx 7,11\)
\(\alpha = \arccos \left( { - \dfrac{{{f^2} - {a^2} - {d^2}}}{{2 \cdot a \cdot d}}} \right) \approx \arccos \left( { - \dfrac{{{{7.11}^2} - {8^2} - {{4.47}^2}}}{{2 \cdot 8 \cdot 4.47}}} \right) \approx 62^\circ \)
\(\gamma = 360^\circ - \alpha - \beta - \delta \approx 360^\circ - 62^\circ - 78,69^\circ - 127,0^\circ \approx 92,31^\circ \)
→ Die Länge der 1. Diagonale e beträgt 8,6 cm, die Länge der 2. Diagonale f beträgt 7,11 cm.
→ Die fehlenden Winkel betragen \(\alpha \approx 62^\circ ,\,\,\,\gamma \approx 92,3^\circ ,\,\,\delta \approx 127,9\)
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