Kugelsegment
Ein Kugelsegment ist ein Vollkörper, der entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. Die Oberfläche vom Kugelsegment ist also der gekrümmte Teil der verbleibenden Kugeloberfläche plus dem Grundkreis.
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Formeln
Kugelkalotte
Eine Kugelkalotte, auch Kugelkuppel oder Kugelschale, entsteht, wenn man durch eine hohle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in eine untere und eine obere Kugelkalotte. Eine Kugelkalotte ist
- einerseits ein Hohlkörper mit einer kreisförmigen Öffnung an der Basis und einer konkav gewölbten Oberfläche.
- andererseits jener verbleibende Teil einer Kugeloberfläche, der jenseits der Schnittebene liegt.
Die Kugelkalotte ist somit gleichzeitig ein Hohlkörper als auch ein Teil einer Kugeloberfläche.
Kugelsegment
Ein Kugelsegment entsteht, wenn man durch eine volle Kugel eine Schnittebene legt. Diese Schnittebene teilt die Kugel in ein unteres und ein oberes Kugelsegment.
- Ein Kugelsegment ist also ein Vollkörper, dessen Oberfläche sich aus der kreisförmigen Grundfläche und einer Kugelkalotte zusammensetzt.
- Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem Grundkreis eingeschlossene Vollkörper.
Läuft die Schnittebene durch den Kugelmittelpunkt, so entstehen zwei Halbkugeln.
Das Kugelsegment wird durch drei Bestimmungsgrößen definiert
r | Radius der Kugel |
a | Radius vom Grundkreis mit \(a \leqslant r\) |
h | Höhe |
Ein Kugelsegment ist der von der Kugelkalotte und dem Grundkreis eingeschlossene Vollkörper.
\(\eqalign{ & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = {\text{Kalotte + Grundkreis}} \cr & V = \frac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) \cr} \)
Beispiel:
\(\eqalign{ & r = 5cm \cr & h = 9cm \cr & a = \sqrt {h \cdot \left( {2 \cdot r - h} \right)} = \sqrt {9 \cdot \left( {2 \cdot 5 - 9} \right)} = 3 \to a = 3cm \cr & M = \pi \cdot 2 \cdot r \cdot h = \pi \cdot 2 \cdot 5 \cdot 9 = 282,743 \to M = 282,743c{m^2} \cr & O = \pi \cdot \left( {2 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \pi \cdot \left( {2 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + {a^2} \cdot \pi = 2 \cdot 5 \cdot \pi \cdot 9 + {3^2} \cdot \pi = 311,018 \to O = 311,018c{m^2} \cr & V = \dfrac{{\pi \cdot h}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {a^2} + {h^2}} \right) = \dfrac{{\pi \cdot 9}}{6} \cdot \left( {3 \cdot {3^2} + {9^2}} \right) = 508,938 \to V = 508,938c{m^3} \cr} \)
Illustration vom Kugelsegment
Hohlkugel
Eine Hohlkugel, auch Kugelschale genannt, ist ein Hohlkörper aus zwei konzentrischen Kugeln mit unterschiedlichen Radien. Die beiden Kugeln haben den gleichen Mittelpunkt. Von der vollen äußeren Kugel wird die hohle innere Kugel abgezogen. Es verbleibt die äußere Kugel mit einer Wandstärke, die bis zur inneren Kugel reicht. Innen ist die Hohlkugel, wie schon der Name sagt, hohl.
ra | Radius der äußeren Kugel |
ri | Radius der inneren Kugel |
\(\eqalign{ & V = \dfrac{4}{3} \cdot {r_a}^3 \cdot \pi - \dfrac{4}{3} \cdot {r_i}^3 \cdot \pi \cr & V = \dfrac{{4 \cdot \pi }}{3} \cdot \left( {{r_a}^3 - {r_i}^3} \right) \cr} \)
Unterschied zwischen Hohlkugel, einer hohlen Kugel und einer Kugelkalotte
- Die Hohlkugel hat eine "Wandstärke", die der Differenz zweier konzentrischer Kugeln entspricht.
- Die hohle Kugel hat eine "Außenhaut" ohne definierter Wandstärke.
- Die Kugelkalotte ist ein Teil der Oberfläche einer hohlen Kugel, die mit einer Ebene in zwei Teile geschnitten wurde.
Illustration einer Hohlkugel
Illustration vom Blick in ein Hohlkugelsegment
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