Skalarfeld
In einem Skalarfeld wird jedem Punkt des vom Feld erfüllten Raums ein bestimmter Absolutwert (also ein Zahlenwert) zugeordnet.
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Formeln
Fundamentale Wechselwirkungen
Ursprünglich waren die elektrische und die magnetische Wechselwirkung getrennt, doch mit den 4 Maxwell Gleichungen gelang es diese beiden Wechselwirkungen zur elektromagnetischen Wechselwirkung zusammen zu fassen.
Heute beschreiben die 4 fundamentalen Wechselwirkungen, wie physikalische Objekte einander beeinflussen können. Bei den 4 Wechselwirkungen handelt es sich um die Gravitation, die starke und die schwache Wechselwirkung sowie um die elektromagnetische Wechselwirkung.
Zwischenzeitlich ist es im Rahmen des Standardmodells der Elementarteichen gelungen, die schwache und die elektromagnetische Wechselwirkung zur elektroschwachen Wechselwirkung zusammen zu fassen, sodass man eigentlich aktuell nur mehr von 3 fundamentalen Wechselwirkungen sprechen müsste.
Eine Sonderstellung hat der Higgs Mechanismus. Er hat zwar so wie die 4 Wechselwirkungen auch ein eigenes Quant als Austauschteilchen, nämlich das Higgs Boson und er hat auch ein eigenes Feld, nämlich das Higgs-Feld, da er aber durch die elektroschwache Theorie beschrieben wird, spricht man hier von einem Mechanismus und nicht von einer 5. Wechselwirkung.
Heute arbeiten die Wissenschaftler an der Grand Unified Theory (GUT) welche die elektroschwache mit der starken Wechselwirkung vereinheitlichen soll. Der nächste und letzte Schritt müsste auch noch die Gravitation mit der GUT verbinden, das wäre dann die sogenannte Theory of Everything (ToE), eine Theorie der Quantengravitation. Kandidaten dafür sind die Stringtheorie und die M-Theorie.
Wichtig ist zu verstehen, dass die physikalische Vereinheitlichung dieser Wechselwirkungen an Temperaturen jenseits von 1028 K bzw. an Energien jenseits von 1016 GeV gebunden sind. Zum Vergleich, der LHC vom Cern erreicht gerade mal 1,3.104 GeV und müßte somit noch eine Billion Mal energiereicher werden, um diese Temperaturen von unmittelbar nach dem Urknall zu simulieren.
Die fundamentalen Wechselwirkungen und der Higgs-Mechanismus
Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird.
Unterscheidung der 5 Felder nach ihrem Rang:
- Skalarfeld (Tensor vom Rang 0)
- Higgs Feld
- Higgs Feld
- Vektorfelder (Tensor vom Rang 1)
- Elektromagnetisches Feld
- Feld der schwachen Wechselwirkung
- Feld der starken Wechselwirkung
- Tensorfeld (Tensor vom Rang >1)
- Gravitationsfeld
Die Austauschteilchen (Quanten) der 4 fundamentalen Wechselwirkungen und vom Higgs-Mechanismus
Unterscheidung der 5 Felder nach ihrem Wirkungsradius
Makrokosmos
-
- Gravitation - Graviton (postuliert, nicht experiementell nachgewiesen)
- elektromagnetische Wechselwirkung - Photon
Mikrokosmos
-
- schwache Wechselwirkung - W+, W- und Z0 Bosonen
- starke Wechselwirkung - Gluonen
- Higgs Mechanismus - Higgs Boson
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Eichgruppen und der Symmetriebruch
Dem Standardmodell der Elementarteilchen liegt die Symmetrische Eichtheorie zugrunde
Das Standardmodell der Elementarteilchen wird mathematisch durch eine Eichtheorie mit 3 Eichgruppen SU(3) + SU(2) + U(1) beschrieben. Die Eichgruppe SU(3) beschreibt die starke Wechselwirkung, die Eichgruppen SU(2) und U(1) beschreiben die elektroschwache Wechselwirkung, also die Vereinigung der elektromagnetischen Wechselwirkung und der schwachen Wechselwirkung.
Das Eichprinzip beschreibt die Invarianz einer Gleichung gegen Transformationen. Der Nachteil der Eichtheorie ist die Notwendigkeit masseloser Bosonen und masseloser Fermionen.
Die Eichtheorie ist eine symmetrische Theorie. Damit diese Theorie funktioniert, dürften die Elementarteilchen keine Ruhemasse haben. Haben sie Masse, tritt nämlich ein sogenannter Symmetriebruch auf. Experimente zeigten aber, dass z.B. die Fermionen und die 3 Bosonen der schwachen Wechselwirkung (W+, W-, Z0) sehr wohl Masse haben! Um dieses Problem zu lösen wurde der Higgs Mechanismus postuliert und Jahrzehnte später experimentell nachgewiesen, durch den die Fermionen und jene Bosonen die den schwachen Isospin tragen, ihre Ruhemasse beziehen.
Higgs Boson
Das Higgs-Boson entsteht, wenn das Higgs Feld von schweren, energiereichen Teilchen stark zum Schwingen angeregt wird. Das Higgs Boson stellt also den Anregungszustand vom Higgs Feld dar.
Um den Symmetriebruch der schwachen Wechselwirkung zu erklären, postulierten 1964 einige Forscher ein neues - skalares - Feld und da Higgs als erster auch das zugehörige Boson postulierte, erhielten das Feld und das Boson seinen Namen.
Das Higgs-Boson ist nicht selbst der Lieferant der Masse, sondern nur eine kurzlebige Begleiterscheinung des Higgs-Feldes, ein sogenannter angeregter Zustand des Higgs-Feldes. Das Higgs-Boson als Skalarboson hat den Spin 0, also keinen Eigendrehimpuls;
Das Higgs-Boson ist mit m=125 GeV/c2 das massereichste aller Bosonen, also schwerer als das Z-Boson mit seinen 91 GeV/c2. Auf Grund seiner Masse hat es eine extrem kurze Lebensdauer, durch die es nur extrem kurze Distanzen zurücklegen kann, ehe es zerfällt. Das Higgs Boson ist also nicht stabil. Am CERN wurden die Zerfallsprodukte des Higgs Bosons nachgewiesen, damit das Higgs Boson und damit indirekt das Higgs Feld. Die Bosonen und Fermionen erhalten ihre Ruhemasse durch die Wechselwirkung über das Higgs-Boson, mit dem allgegenwärtigen Higgs-Feld. Je stärker die Wechselwirkung, desto größer die Ruhemasse des Teilchens.
Vakuumerwartungswert eines Feldes
Der Vakuumerwartungswert ist ein Begriff aus der Quantenfeldtheorie. Der Vakuumerwartungswert eines Feldes ist zunächst einmal Null. Das bedeutet, dass im Quantenvakuum kein Feld existiert und sich das System im Zustand niedrigster Energie befindet.
\(\left\langle {{\phi _0}} \right\rangle = 0\)
Higgs Feld
(Nur) Teilchen die den schwachen Isospin als Ladung tragen, koppeln neben der schwachen Wechselwirkung noch an ein weiteres Feld - Higgs Feld - genannt an. Sie tun dies durch den Austausch von Higgs Bosonen.
Da der stabile Zustand eines Teilchens immer derjenige der niedrigsten Energie ist, setzt die Existenz eines Higgsfeldes eine Abhängigkeit der potentiellen Energie vom Higgsfeld voraus. Das ganze Universum ist von einem konstanten, durch Expansion des Universums sich nicht weiter verdünnendem Higgs-Feld erfüllt, dessen Vakuumserwartungswert ungleich Null ist, das aber nirgends verschwindet, weil so der niedrigste Energiezustand im Universum hergestellt wird. Nur Teilchen die den schwachen Isospin tragen, wechselwirken mit dem Higgsfeld, werden langsamer als Lichtgeschwindigkeit und erhalten so ihre Ruhemasse.
\(\left\langle \phi \right\rangle = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi ^ + }} \\ {{\phi ^0}} \end{array}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {\sqrt {\dfrac{{{\mu ^2}}}{\lambda }} } \end{array}} \right) \ne 0\)
Das Higgs-Feld ist ein skalares Quantenfeld, seine Quanten sind die (5) Higgs-Bosonen. Das Higgs-Feld selbst und nicht die Masse der Teilchen bricht die Symmetrie der schwachen Wechselwirkung. Teilchen die nicht mit dem Higgs-Feld wechselwirken sind masselos.
Teilchen die schwache Ladung tragen, also die W und Z-Bosonen sowie das Higgs-Boson selbst, werden durch „Anregungen“ des Higgs-Feldes massiv, werden langsamer als die Lichtgeschwindigkeit und erhalten so ihre Higgs-Masse. Das Higgs-Feld ist Teil des „Vakuum Grundzustands“ des Universums geworden. Das Vakuum ist überall gleich und daher dünnt sich das Higgs-Feld trotz der Ausdehnung des Universums nicht aus, sonder hat den konstanten Vakuumerwartungswert von v=246 GeV.
Higgs Mechanismus für Träger der schwachen Wechselwirkung
Da das Higgs-Feld nur die schwache (Isospin) Ladung, nicht aber die starke (Farb-) Ladung und auch nicht die elektrische Ladung trägt, merken deren Austauschteilchen (Gluonen bzw. die Photonen) nichts vom Higgs-Feld und bleiben masselos. Das Higgs-Boson, als Anregung des Higgs-Feldes wechselwirkt also weder stark noch elektromagnetisch.
Lediglich für die 3 Träger der schwachen Wechselwirkung kann man die Ruhemassen bzw. die damit verbundene Koppelungsstärke mit einer Genauigkeit von 0,5 Promille innerhalb des Standardmodells der Elementarteilchen herleiten bzw. vorhersagen. Der Grund dafür ist, dass die Ladung des Higgs-Feldes ebenfalls der schwache Isospin ist, genauso wie für die schwache Wechselwirkung, deren Austauschteilchen eben die W+ , W- und Z0 Boson sind.
Das erklärt, woher jene Bosonen, die der schwachen Wechselwirkung unterliegen, ihre Ruhemasse erhalten.
Higgs Mechanismus für Fermionen
Im Standardmodell der Elementarteilchen gibt es keine Erklärung warum unterschiedliche Fermionen (Quarks und Leptonen) das Higgs Feld unterschiedlich stark spüren.
Yukawa Kopplungsstärke für fermionische Teilchen
Man kann die Yukawa Kopplung nicht theoretisch herleiten, sondern sie wird aus gemessenen Massen zurückgerechnet. Konkret rechnet man aus den Massen der Teilchen auf deren „Kopplungsstärke“ zurück. Umgekehrt gesagt: Die Masse der Fermionen ist proportional der Yukawa-Kopplung. Erst dieser fermionische Higgs-Mechanismus ermöglicht die Existenz von Atomen.
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Vektoranalysis
Die Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit Skalaren, Vektoren und Tensoren, sowie deren Änderung in Raum und Zeit beschäftigt.
In der Physik spricht man in diesem Zusammenhang von Feldern, z.B.: \(\vec D{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec E{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec B{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec H\) in der Elektrodynamik, in der Mathematik von Funktionen, z.B.: \(\overrightarrow f = \overrightarrow f \left( {x,y,z} \right)\). Die Vektoranalysis verbindet die Vektorrechnung mit der Analysis und dort speziell mit der Infinitesimalrechnung (Differential- und Integralrechnung).
Ein Feld ist eine Energieform, die den Raum erfüllt. Felder können sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten, wobei ihre Dynamik durch Feldgleichungen beschrieben wird.
Zeitlich unveränderliche räumliche Felder benötigen zu ihrer Beschreibung eine Funktion mit den 3 Variablen \(\overrightarrow f = \overrightarrow f \left( {x,y,z} \right)\) , um das Feld in jedem Punkt im 3-dimensionalen Raum beschreiben zu können. Will man eine derartige Funktion ableiten, so bedient man sich der partiellen Ableitung. Bei der partiellen Ableitung leitet man jeweils nach einer der unabhängigen Variablen ab, und behandelt die anderen unabhängigen Variablen wie Konstante.
Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Vektoranalysis sind elektromagnetische Felder. Die maxwellschen Gleichungen, in Integral- und Differentialform zur Beschreibung des elektromagnetischen Feldes, sind fundamentale Anwendungsgebiete der Vektoranalysis in der physikalischen Praxis.
Ein weiteres wichtiges Anwendungsgebiet der Vektoranalysis sind die 4 fundamentalen Wechselwirkungen, die beschreiben, wie physikalische Objekte einander beeinflussen, samt dem Higgs-Feld, welches dafür sorgt, dass Teilchen ihre Masse erhalten.
Die Verwendung von Tensoren, speziell von Minkowski-Raumzeit-Tensoren ermöglichte eine kompakte Darstellung der Lorenz-Transformation in der speziellen Relativitätstheorie und die Formulierung der Beziehung zwischen der Gravitationskraft einerseits und der Krümmung der Raumzeit andererseits, zufolge der Einstein-Tensorgleichung der allgemeinen Relativitätstheorie.
Felder, durch Tensoren dargestellt
Ein Tensor ist ein mathematischer Begriff zur Verallgemeinerung von Skalaren, Vektoren und Matrizen. Der Rang eines Tensors ergibt sich aus der Anzahl der Indizes, die benötigt werden, um ein Element zu referenzieren.
Man kann Felder nach ihrem Rang wie folgt unterscheiden:
- Skalarfelder
Ein Skalarfeld ist ein Tensor des Rangs 0, da es nur einen Wert gibt, und somit kein Index nötig ist.- Temperatur im Raum
- Higgs Feld
- Vektorfelder
Ein Vektorfeld ist ein Tensor des Rangs 1, da nur 1 Index zur Beschreibung nötig ist.- Die elektromagnetischen Felder \(\vec D{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec E{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec B{\mkern 1mu} - {\mkern 1mu} \vec H\) , z.B.: \(\overrightarrow {{E_x}} ,\overrightarrow {{E_y}} ,\overrightarrow {{E_z}} \)
- Feld der schwachen Wechselwirkung
- Feld der starken Wechselwirkung
- Tensorfelder
Matrizen sind Tensor vom Rang >1, da 2 oder mehr Indizes zur Beschreibung der Elemente nötig sind.- Elektromagnetischer Feldstärkentensor \({F^{\mu \upsilon }}\) ist ein Tensor des Rangs 2, der sowohl die Stärke des elektrischen Feldes E als auch die Stärke des magnetischen Feldes B umfasst.
- Riemann-Tensor zur Beschreibung der Krümmung des Raum-Zeit-Kontinuums ist ein Tensor des Rangs 4.
Wir verwenden folgende Schreibweise:
- s steht für ein Skalarfeld, in der Literatur wird auch gerne f verwendet
- \(\overrightarrow v \) steht für ein Vektorfeld, in der Literatur wird auch gerne F verwendet
- Tij unter Verwendung von fetten Buchstaben und Indizes steht für ein Tensorfeld
Differentialoperatoren
Ein Differentialoperator ist eine Abbildungsvorschrift, bei der einer Ausgangsfunktion eine andere Funktion zugeordnet wird, die partielle Ableitungen der Ausgangsfunktion hat.
So bildet etwa der Differentialoperator \(\dfrac{d}{{dx}}\) eine differenzierbare Funktion \(f\left( x \right)\) auf deren 1. Ableitung ab:
\(f\left( x \right) \to \dfrac{d}{{dx}} \to f'\)
Wir werden nun folgende Differentialoperatoren besprechen:
- Gradient, gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes in Form eines Vektors an
- Divergenz, ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken in einem Vektorfeld
- Rotation, ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes.
Zur Vereinfachung der Schreibweise von partiellen Ableitungen dienen folgende Differentialoperatoren:
- Nabla-Operator, entspricht dann der ersten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Feldes und vereinheitlicht die Schreibweise für Gradient, Divergenz und Rotation
- Laplace-Operator, entspricht dann der zweiten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Feldes.
- D’Alembert-Operator, stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4-dimensionalen Minkowski Raum dar und ist invariant unter der Laplace-Transformation
Gradient
Der Gradient ist jener Differentialoperator, der einem räumlichen Skalarfeld \(s \to s\left( {x,y,z} \right)\) den Vektor der partiellen Ableitungen des Skalarfeldes zuordnet. Dieser Vektor heißt Gradient und kann mit dem Nabla-Operator einfach angeschrieben werden.
\(grad\,s = \overrightarrow \nabla s = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\partial _x}s}\\ {{\partial _y}s}\\ {{\partial _z}s} \end{array}} \right)\)
Umgekehrt formuliert, bildet der Differentialoperator, diesmal als Zeilenvektor geschrieben, \(\left( {\dfrac{\partial }{{\partial x}},\dfrac{\partial }{{\partial y}},\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \right)\) ein zeitlich unveränderliches räumliches Skalarfeld \(s = s\left( {x,y,z} \right)\)auf dessen Gradienten – ein Vektorfeld - ab:
\(s\left( {x,y,z} \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right) \to grad\,s = \overrightarrow \nabla \,s\)
Rechenregeln:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow \nabla \left( {f + g} \right) = \overrightarrow \nabla f + \overrightarrow \nabla g\\ \overrightarrow \nabla \left( {f \cdot g} \right) = f \cdot \overrightarrow \nabla g + g \cdot \overrightarrow \nabla f \end{array}\)
Beispiel: Anwendung des Nabla-Operators auf eine Funktion mit 3 unabhängigen Variablen, bzw. Bildung des Gradienten der Funktion
\(\begin{array}{l} s\left( {x,y,z} \right) = {x^2} + {y^2} + {z^2}\\ grad\,s = ?\\ \\ \dfrac{{\partial s}}{{\partial x}} = 2x + 0 + 0\\ \dfrac{{\partial s}}{{\partial y}} = 0 + 2y + 0\\ \dfrac{{\partial s}}{{\partial z}} = 0 + 0 + 2z\\ \\ \overrightarrow \nabla s = grad\,s = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2x}\\ {2y}\\ {2z} \end{array}} \right) = 2x \cdot \overrightarrow i + 2y \cdot \overrightarrow j + 2z \cdot \overrightarrow k \end{array}\)
mit
\(\overrightarrow i ,\overrightarrow j {\text{ und }}\overrightarrow k {\text{ : Basisvektoren}}\)
Divergenz
Der Divergenz ist jener Differentialoperator, der einem räumlichen Vektorfeld \(\overrightarrow v \to \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\) die Summe der partiellen Ableitung der x,y,z-Koordinate zuordnet. Diese Summe ist ein Skalar. Sie ist ein Maß für die Quellenstärke des Vektorfeldes in einem bestimmten Punkt.
Mathematisch ist die Divergenz das Skalarprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem räumlichen Vektorfeld.
\(div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v = \sum\limits_{i = x}^z {{\partial _i}{v_i}} = \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}\)
Rechenregeln:
\(\begin{array}{l} div\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = div\overrightarrow u + div\overrightarrow v \\ div\left( {s \cdot \overrightarrow v } \right) = s \cdot div\overrightarrow v + \left( {\overrightarrow {\nabla s} } \right) \cdot \overrightarrow v \\ div\left( {\overrightarrow u \times \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow v \cdot rot\overrightarrow u - \overrightarrow u \cdot rot\overrightarrow v \end{array}\)
Beispiel: Anwendung des Skalarprodukts aus dem Nabla-Operator und einer Vektorfunktion mit 3 unabhängigen Variablen, bzw. Bildung der Divergenz der Funktion.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3xz - 4{e^{2z}}}\\ {2z + 2x{e^{ - 4y}}}\\ {3x{y^2}z} \end{array}} \right)\\ div\,\overrightarrow v = ?\\ \\ div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v \\ NR.:\\ \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} = \dfrac{d}{{dx}} \cdot \left( {3xz - 4{e^{2z}}} \right) = 3z\\ \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} = \dfrac{d}{{dy}} \cdot \left( {2z + 2x{e^{ - 4y}}} \right) = - 4 \cdot 4x \cdot {e^{ - 4y}}\\ \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}} = \dfrac{d}{{dz}} \cdot \left( {3x{y^2}z} \right) = 3x{y^2}\\ \\ div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v = \sum\limits_{i = x}^z {{\partial _i}{v_i}} = 3z - 16x \cdot {e^{ - 4y}} + 3x{y^2} \end{array}\)
Setzt man nun für einen Punkt des Vektorfeldes ein, gibt es 3 Möglichkeiten:
\(\eqalign{ & P\left( {{x_P}|{y_P}|{z_p}} \right) \cr & div\,\overrightarrow v = 3{z_P} - 16{x_P} \cdot {e^{ - 4{y_P}}} + 3{x_P}{y_P}^2 > 0 \to {\text{P ist Quelle}} \cr & div\,\overrightarrow v = 3{z_P} - 16{x_P} \cdot {e^{ - 4{y_P}}} + 3{x_P}{y_P}^2 < 0 \to {\text{P ist Senke}} \cr & div\,\overrightarrow v = 3{z_P} - 16{x_P} \cdot {e^{ - 4{y_P}}} + 3{x_P}{y_P}^2 = 0 \to {\text{P ist weder Quelle noch Senke}} \cr} \)
Rotation
Die Rotation ist jener Differentialoperator, der einem räumlichen Vektorfeld \(\overrightarrow v \to \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\) ein anderes räumliches Vektorfeld gemäß dem Kreuzprodukt aus dem Gradienten des Vektorfeldes und dem Vektorfeld selbst zuordnet.
Mathematisch ist die Rotation das Kreuzprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem räumlichen Vektorfeld.
\(rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v = \left( {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}},\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \right)\)
Rechenregeln:
\(\begin{array}{l} rot\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right) = rot\overrightarrow u + rot\overrightarrow v \\ rot\left( {s \cdot \overrightarrow v } \right) = s \cdot rot\overrightarrow v + \left( {\overrightarrow \nabla s} \right) \times \overrightarrow v \\ rot\left( {\overrightarrow u \times \overrightarrow v } \right) = \left( {\overrightarrow v \circ \overrightarrow \nabla } \right)\overrightarrow u - \overrightarrow v \left( {\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow u } \right) - \left( {\overrightarrow u \circ \overrightarrow \nabla } \right)\overrightarrow v + \overrightarrow u \left( {\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v } \right) \end{array}\)
Beispiel: Anwendung des Kreuzprodukts aus dem Nabla-Operator und einer Vektorfunktion mit 3 unabhängigen Variablen, bzw. Bildung der Divergenz der Funktion.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_x}}\\ {{v_y}}\\ {{v_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {z^3}}\\ {{x^2} + {y^3}}\\ {{y^2} + {z^3}} \end{array}} \right)\\ rot\,\overrightarrow v = ?\\ \\ rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v \\ rot\,\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\partial _y}{v_z} - {\partial _z}{v_y}}\\ {{\partial _z}{v_x} - {\partial _x}{v_z}}\\ {{\partial _x}{v_y} - {\partial _y}{v_x}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{d\left( {{y^2} + {z^3}} \right)}}{{dy}} - \dfrac{{d\left( {{x^2} + {y^3}} \right)}}{{dz}}}\\ {\dfrac{{d\left( {{x^2} + {z^3}} \right)}}{{dz}} - \dfrac{{d\left( {{y^2} + {z^3}} \right)}}{{dx}}}\\ {\dfrac{{d\left( {{x^2} + {y^3}} \right)}}{{dx}} - \dfrac{{d\left( {{x^2} + {z^3}} \right)}}{{dy}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2y - 0}\\ {3{z^2} - 0}\\ {2x - 0} \end{array}} \right)\\ \\ rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2y}\\ {3{z^2}}\\ {2x} \end{array}} \right) \end{array}\)
Das bedeutet, dass sich jeder Punkt des räumlichen Vektorfeldes um die Rotationsachse \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2y}\\ {3{z^2}}\\ {2x} \end{array}} \right)\) dreht.
Mit Hilfe der Differentialoperatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) kann man die Eigenschaften von Feldern untersuchen.
- Wendet man Gradient auf ein skalares Feld an, erhält man ein Vektorfeld.
- Wendet man Divergenz auf ein Vektorfeld an, erhält man ein Skalarfeld.
- Wendet man Rotation auf ein Vektorfeld an, erhält man wieder ein Vektorfeld.
grad, div und rot sind unterschiedliche Arten der Differentiation im Zusammenhang mit der Vektorrechnung.
Zur Vereinfachung der Schreibweise partieller Ableitungen bedient sich die Vektoranalysis weiterer Operatoren
Differentialoperator Nabla
Der Nabla-Operator ist ein vektorieller Differentialoperator und hat alleinstehend keine Bedeutung. Er muss auf ein Skalar s oder einen Vektor \(\overrightarrow v \) angewendet werden und entspricht dann der ersten partiellen Ableitung eines ortsabhängigen Feldes.
Der Nabla-Operator fasst in einem Symbol \(\overrightarrow \nabla \) die drei partiellen Differentiationen nach der jeweiligen Ortskoordinate x, y bzw. z zusammen.
\(\vec \nabla = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}}\\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right)\)
Mit Hilfe vom Differentialoperator Nabla ist es möglich die Operatoren grad, div und rot in einer einheitlichen Form anzuschreiben.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {grad\,s = \overrightarrow \nabla s}\\ {div\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v }\\ {rot\,\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v } \end{array}\)
Laplace Operator
Der Laplace Operator ist ein Differentialoperator und hat alleinstehend keine Bedeutung. Er entspricht der zweifachen Anwendung des Nabla Operators. Er muss auf ein Skalar s oder einen Vektor \(\overrightarrow v \) angewendet werden und entspricht dann der zweiten partiellen Ableitung eines jeweiligen ortsabhängigen Feldes.
\(\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow \nabla = {\overrightarrow \nabla ^2} = \Delta {\rm{ }}...{\rm{Laplace Operator}}\)
\({\rm{\Delta }} = \left( {\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}}} \right)\)
Laplace Operator auf ein Skalarfeld angewendet
Wendet man den Laplace Operator auf ein Skalarfeld s an, ist das Resultat wieder ein Skalar.
\({\nabla ^2}s = {\rm{\Delta s}} = \dfrac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}s}}{{\partial {z^2}}}\)
- Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace Operators auf ein Skalarfeld ist die Laplace-Gleichung. Skalarfelder \(s\left( {x,y,z} \right)\) die der Laplacegleichung \({\rm{\Delta s}} = 0 \) genügen, sind quellen- und wirbelfrei, etwa die Temperaturverteilung in einem homogenen Medium.
\(\begin{array}{*{20}{l}} {\overrightarrow \nabla s = grad{\mkern 1mu} s}\\ {div\,\overrightarrow s = div\left( {grad{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s} \right) = {\rm{\Delta s}} = 0 \to {\rm{Quellenfreiheit}}}\\ {rot\,\overrightarrow s = rot\left( {grad{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s} \right) = 0 \to {\rm{Wirbelfreiheit}}} \end{array}\) -
Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace-Operators auf ein wirbelfreies Quellenfeld, etwa das elektrische Potential, ist die poissonsche Differentialgleichung
\({\nabla ^2}\varphi = {\rm{\Delta }}\varphi = \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {z^2}}} = - q\)
der zufolge der Laplace-Operator des elektrischen Potentials Phi gleich der negativen Ladungsdichte q ist. Diese Gleichung beschreibt, wie jede punktförmige Ladung Q an einem Punkt im Raum, einen Beitrag zum Potential Phi an einem anderen Punkt im Raum erbringt.
Laplace Operator auf ein Vektorfeld angewendet
Wendet man den Laplace Operator auf ein Vektorfeld \(\overrightarrow v \) an, ist das Resultat wieder ein Vektor.
\({\nabla ^2}\overrightarrow v = {\rm{\Delta }}\overrightarrow v = \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow v }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow v }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow v }}{{\partial {z^2}}}\)
Ein Beispiel für die Anwendung des Laplace Operators auf ein Vektorfeld ist die Wellengleichung.
Die Wellengleichung beschreibt die Ausbreitung von Wellen in Raum und Zeit mittels einer partiellen Differenzialgleichung. Sie besagt, dass die 2. räumliche Ableitung der Auslenkung proportional zur 2. zeitlichen Ableitung der Auslenkung ist, wobei der Proportionalitätsfaktor 1/c² beträgt. Der Laplace Operator ist eine Kurzschreibweise für die 2. räumliche Ableitung.
\(\begin{array}{l} \psi = \psi \left( {x,y,z,t} \right)\\ \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {y^2}}} + \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {z^2}}} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{d{t^2}}}\\ \Delta \psi = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{d{t^2}}}\\ \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}\psi }}{{d{t^2}}} - \Delta \psi = 0 \end{array}\)
D’Alembert-Operator Quabla
Der D’Alembert Operator namens "Quabla", auch als Wellenoperator bezeichnet, ist ein hyperbolischer Differentialoperator. Er ist eine lineare Kombination aus der zeitlichen Ableitung und dem Laplace-Operator.
Er stellt eine Verallgemeinerung des Laplace Operators für den 4-dimensionalen Minkowski Raum dar und findet daher im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Anwendung. Der D’Alembert Operator ist invariant unter der Lorenz-Transformation.
\(\square = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\nabla ^2} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - {\Delta} = \dfrac{1}{{{c^2}}} \cdot \dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {x^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {y^2}}} - \dfrac{\partial }{{\partial {z^2}}}\)
Manche Autoren schreiben obige Gleichung gleichwertig auch wie folgt an
\(\square = {\nabla ^2} - \dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{{{\partial ^2}}}{{\partial {t^2}}}\)
wobei:
c … Lichtgeschwindigkeit
- Die Wellengleichung in der speziellen Relativitätstheorie mit dem D’Alembert-Operator formuliert lautet:
\(\eqalign{ & \psi = \psi \left( {x,y,z,t} \right) \cr & \square \psi = 0 \cr} \)
Diese Gleichung beschreibt, wie sich Wellen (etwa elektromagnetische Wellen) in der Raumzeit ausbreiten. Sie besagt, dass die Wellenfunktion in allen 4 Raumzeit-Koordinaten (x,y,z und t) glatt ist und keine Divergenz oder Rotation hat.
Skalarfeld
In einem Skalarfeld wird jedem Punkt des vom Feld erfüllten Raums ein bestimmter Absolutwert \({s_P} = s\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet.
\(s = s\left( {x,y,z} \right)\)
Beispiele für Skalarfelder sind die Temperatur in einem Raum oder das Potential.
Illustration eines Skalarfeldes
Gradient eines Skalarfeldes
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld f(x,y,z) nennt man Gradient. Der Gradient ist ein Vektor, dessen x,y,z-Komponenten sich aus den 3 ersten partiellen Ableitung (nach x, nach y, nach z) der Gleichung vom Skalarfeld ergeben.
Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes in Form eines Vektors an. Der Betrag des Gradienten gibt, wie bei Betrag eines x-beliebigen Vektors, die Größe der Änderung an.
Das Resultat ist ein Vektorfeld. Der Gradient ordnet einem Skalarfeld, welches naturgemäß keine Richtung aber eine Ortsabhängigkeit hat, ein Vektorfeld zu, welches die Richtung der größten Zunahme des Skalarfelds anzeigt.
\(\eqalign{ & \vec \nabla s = \operatorname{grad} s = \left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial x}},\dfrac{{\partial s}}{{\partial y}},\dfrac{{\partial s}}{{\partial z}}} \right) \cr & \left| {\operatorname{grad} s} \right| = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\partial s}}{{\partial z}}} \right)}^2}} \cr} \)
Rechenregeln für Gradienten
\(\eqalign{ & \overrightarrow \nabla \left( {{s_1} + {s_2}} \right) = \overrightarrow \nabla {s_1} + \overrightarrow \nabla {s_2} \cr & \overrightarrow \nabla \left( {{s_1} \cdot {s_2}} \right) = {s_1} \cdot \overrightarrow \nabla {s_2} + {s_2} \cdot \overrightarrow \nabla {s_1} \cr} \)
Der Gradient \(\vec \nabla s = \operatorname{grad} s\) steht senkrecht auf jene Flächen, für die \(s = s\left( {x,y,z} \right) = konst.\) gilt. Wenn die skalare Funktion etwa ein Potential darstellt, bezeichnet man diese Flächen als Äquipotentialflächen und die Richtung der Größten Änderung des Potentials ist senkrecht auf die Äquipotentialfläche.
Illustration vom Gradienten eines Skalarfeldes
2. Ableitungen von Skalarfeldern
Wendet man Gradient auf ein skalares Feld an, erhält man ein Vektorfeld. Auf dieses Vektorfeld kann man nun die Rotation und die Divergenz anwenden.
Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes
Die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes ist Null. Kurz: Skalarfelder sind wirbelfrei.
\({\text{rot}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \times {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\text{grad}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} s = \overrightarrow \nabla \times \left( {\overrightarrow \nabla s} \right) = 0\)
Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes
Die Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes entspricht der Anwendung vom Laplace-Operator.
\(div\left( {grad{\text{ s}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow \nabla s = \Delta s\)
Spezialfall: Ist die Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes null, dann bezeichnet man das Skalarfeld als harmonisch. Bei einem harmonischem Skalarfeld verschwindet in jedem Punkt des Raums die Krümmung des Feldes.
\(div\left( {grad{\text{ s}}} \right) = \overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow \nabla s = \Delta s = 0\)
Beispiel: Harmonisches Skalarfeld
\(\eqalign{ & s\left( {x,y,z} \right) = 2{x^2} - {y^2} - {z^2} \cr & grad{\text{ s = }}\overrightarrow \nabla s = \left( {4x, - 2y, - 2z} \right) \cr & \Delta s = 4 - 2 - 2 = 0 \cr} \)
Vektorfeld
In einem Vektorfeld wird jedem Punkt \(P\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) des vom Feld erfüllten Raums, ein bestimmter Vektor\(\overrightarrow {{v_P}} = \vec v\left( {{P_x},{P_y},{P_z}} \right)\) zugeordnet.
\(\overrightarrow v = \overrightarrow v \left( {x,y,z} \right)\)
Beispiele für Vektorfelder sind der Wärmefluss oder die elektrische oder magnetische Feldstärke.
Man kann sich ein Vektorfeld räumlich so vorstellen, als würde in jedem Punkt vom Zimmer in dem man sitzt, ein Vektor seinen Anfangspunkt haben. Jeder dieser unendlich vielen Vektoren würde in jene Richtung zeigen, in der sich die Temperatur im Raum am stärksten ändert. Die Länge von jedem der unendlich vielen Vektoren wäre ein Maß dafür, wie stark sich die Temperatur im jeweiligen Raumpunkt ändert. Was wir in den letzten drei Sätzen beschrieben haben, ist das "vektorielle Gradientenfeld vom skalaren Temperaturfeld".
Zu einem Vektorfeld kann man dessen Divergenz (Quellen) und dessen Rotation (Wirbeln) bestimmen. Ein Vektorfeld ist bis auf eine Integrationskonstante eindeutig bestimmt, wenn man dessen Quellen und Wirbel kennt. Die Quellendichte (Divergenz) ist eine skalare Größe, die Wirbeldichte (Rotation) ist eine vektorielle Größe.
Illustration eines Vektorfeldes
Divergenz eines Vektorfeldes
Das Skalarprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v \) nennt man Divergenz. Das Skalarprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem Feldvektor ist ein Skalar.
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken. Das Resultat ist ein Skalarfeld. Wenn die Divergenz eines Vektorfeldes Null ist, so ist das Vektorfeld quellenfrei.
Elektrische Felder sind ein Beispiel für Quellenfelder, deren Quellen die positiven elektrischen Ladungen und deren Senken die negativen elektrischen Ladungen sind.
\(div\,\vec v = \left( {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial z}}} \right) = \vec \nabla \circ \vec v\)
Die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld, welches für jeden Punkt des Raums angibt, ob dort Feldlinien entstehen, Quelle mit \(div\,\vec v\left( x \right) > 0\) oder verschwinden, Senke mit \(div\,\vec v\left( x \right) < 0\). Die Divergenz ist am Ort einer positiven Punktladung größer null, da dort Feldlinien entstehen.
Rotation eines Vektorfeldes
Das Kreuzprodukt vom Nabla-Operator mit einem Vektorfeld \(\overrightarrow v \) nennt man Rotation. Das Kreuzprodukt aus dem Nabla-Vektor und dem Feldvektor ist ein Vektor. Der Vektor \(rot\overrightarrow v \) bezeichnet die Wirbeldichte des Vektorfeldes \(\overrightarrow v \).
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes. Das Resultat ist erneut ein Vektorfeld. Wenn die Rotation eines Vektorfeldes Null ist, so ist das Vektorfeld wirbelfei.
\(rot\,\vec v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial y}} - \dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial z}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial z}} - \dfrac{{\partial {v_z}}}{{\partial x}}}\\ {\dfrac{{\partial {v_y}}}{{\partial x}} - \dfrac{{\partial {v_x}}}{{\partial y}}} \end{array}} \right) = \vec \nabla \times \vec v\)
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld, welches angibt, wie stark sich das Vektorfeld \(\overrightarrow v \) n eine bestimmte Koordinatenrichtung ändert. Vektorfelder mit nicht verschwindender Rotation werden Wirbelfelder genannt. Ein Beispiel dafür ist das Magnetfeld.
2. Ableitungen von Vektorfeldern
Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist immer Null
Der Rotationssatz besagt, dass die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes \(\overrightarrow v \)
immer Null ist. Das bedeutet, dass die Rotation eines Vektorfeldes nie zu einer Quelle oder Senke führt, oder kurz:
Ein Wirbelfeld ist quellenfrei!
\(div{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} rot\,\vec v = \overrightarrow \nabla \circ \left( {\overrightarrow \nabla \times \vec v} \right) = 0\)
Rotation der Rotation eines Vektorfeldes
Die Doppelrotation eines Vektorfeldes ist erneut ein Vektorfeld.
\(rot\,\,rot\overrightarrow v = \overrightarrow \nabla \times \left( {\overrightarrow \nabla \times \overrightarrow v } \right) = \overrightarrow \nabla \left( {\overrightarrow \nabla \circ \overrightarrow v } \right) - \overrightarrow \Delta \circ \overrightarrow v = grad\left( {div\overrightarrow v } \right) - \overrightarrow \Delta \circ \overrightarrow v \)
Fundamentalsatz der Vektoranalysis
- Vektorfelder deren Rotation Null ist, nennt man wirbelfrei.
- Vektorfelder deren Divergenz Null ist, nennt man quellenfrei.
Der Helmholtzsche Zerlegungssatz sagt aus, dass man jedes Vektorfeld \(\overrightarrow v \) als Summe eines wirbelfreien Quellenfeldes \(\overrightarrow {{v_Q}} \) und eines quellenfreien Wirbelfeldes \(\overrightarrow {{v_W}} \) beschreiben kann.
\(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_Q}} + \overrightarrow {{v_W}} \)
Ein allgemeines Vektorfeld ist nur dann eindeutig spezifiziert, wenn sowohl die Quellen- als Wirbeldichten und allfällige Randwerte vorliegen.