Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind
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Formeln
Trapez
Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind
- 2 Seiten (die Grundseiten) sind zueinander parallel \(a\parallel c\), die längere Seite (a) bezeichnet man als Basis, die beiden nicht parallelen Seiten (b, d) nennt man Schenkel.
- Parallel zu den beiden Grundseiten verläuft durch die Mittelpunkte der beiden Schenkel die Mittelparallele m
- Die (einzige) Höhe h ist der Abstand der beiden parallelen Seiten.
- Die beiden Diagonalen (e, f) schneiden einander im gleichen Verhältnis.
Umfang vom Trapez
Der Umfang vom Trapez entspricht der Summe der vier Seitenlängen
\(U = a + b + c + d\)
\(a\parallel c;\,\,\,\,\,a > c;\,\,\,\,\,b\nparallel d\)
Mittenparallele
\(m = \dfrac{{a + c}}{2}\)
Winkelsumme im Trapez
Die Summe der Innenwinkel im Trapez beträgt 360°.
\(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ \)
\(\alpha + \delta = \beta + \gamma = 180^\circ\)
Flächeninhalt vom Trapez
Die Fläche vom Trapez berechnet sich aus der halben Summe der Längen beiden Grundseiten mal deren Parallelabstand (also der Höhe)
\(A = \dfrac{{a + c}}{2} \cdot h = m \cdot h\)
Länge der Diagonalen im Trapez
Die Länge der Diagonalen im Trapez errechnet sich mit Hilfe vom Kosinussatz.
\(\begin{array}{l} e = \sqrt {{a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( \beta \right)} = \\ = \sqrt {{c^2} + {d^2} - 2 \cdot c \cdot d \cdot \cos \left( \delta \right)} \\ f = \sqrt {{a^2} + {d^2} - 2 \cdot a \cdot d \cdot \cos \left( \alpha \right)} = \\ = \sqrt {{b^2} + {c^2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \left( \gamma \right)} \end{array}\)
Illustration vom Trapez
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Aufgaben
Aufgabe 1070
AHS - 1_070 & Lehrstoff: AG 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalenz von Formeln
Die nachstehende Abbildung zeigt ein Trapez:
- Aussage 1: \({A_1} = \dfrac{1}{2} \cdot \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 2: \({A_2} = b \cdot c + \dfrac{{\left( {a - c} \right) \cdot b}}{2}\)
- Aussage 3: \({A_3} = a \cdot b - 0,5 \cdot \left( {a - c} \right) \cdot b\)
- Aussage 4: \({A_4} = 0,5 \cdot a \cdot b - \left( {a + c} \right) \cdot b\)
- Aussage 5: \({A_5} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b + b \cdot c\)
Aufgabenstellung:
Mit welchen der obenstehenden Formeln kann man die Fläche dieses Trapezes berechnen? Kreuzen Sie die zutreffende(n) Formel(n) an!
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