verzerrende Übertragungsfunktion G in elektrischen Netzen
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Formeln
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Verzerrende bzw. frequenzabhängige Übertragungsfunktion G in elektrischen Schaltungen
Bei elektrischen Schaltungen mit (frequenzabhängigen) Spulen und Kondensatoren, ist auch der Zusammenhang zwischen der angelegten Spannung und dem resultierenden Strom, beschrieben durch eine Übertragungsfunktion G, frequenzabhängig.
Mit Hilfe der Fourier Analyse lassen sich periodische, aber nicht sinusförmige Vorgänge, in linearen elektrischen Netzen (R, L, C) wie folgt behandeln:
- Man zerlegt die nicht sinusförmige erregende (Eingangs) Größe - die Spannung - nach Fourier in ihre sinusförmigen Teilschwingungen (Harmonische). Man erhält also \(u = u\left( {k{\omega _1}t} \right)\)
- Man ermittelt den komplexen Widerstand \(Z = Z(R,L,C,\omega )\) im Sinne einer frequenzabhängigen Übertragungsfunktion G
- Allgemeine Berechnung des Problems im Komplexen für eine beliebige Frequenz \(\omega = k \cdot {\omega _1}\) und Einsetzen von k=1, 2, 3 in die Lösung
- Ermittlung
- der Amplitude der Ausgangsgröße z.B.: \(\left| {\underline {\widehat {{{I'}_k}}} } \right| = \sqrt {{\rm{R}}{{\rm{e}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} + {\rm{I}}{{\rm{m}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} \,\,} \)
- der Phasenlage der Ausgangsgröße z.B.: \({\psi _{ik}} = \arctan \dfrac{{{\rm{Im}}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} }}{{{\rm{Re}}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} }}\)
- der Amplitude der Ausgangsgröße z.B.: \(\left| {\underline {\widehat {{{I'}_k}}} } \right| = \sqrt {{\rm{R}}{{\rm{e}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} + {\rm{I}}{{\rm{m}}^2}\underline {\widehat {{{I'}_k}}} \,\,} \)
In der Übertragungsfunktion G sind also die einzelnen Widerstandsgrößen der Innenschaltung enthalten. Da L und C frequenzabhängig sind, ist auch die Übertragungsfunktion frequenzabhängig.
- Bei rein sinusförmigen Vorgängen (Eingangsgröße (Spannung) ist die Frequenz eine Konstante und damit ist auch die Übertragungsfunktion G eine Konstante. In diesem Spezialfall nennt man sie auch „Übertragungsfaktor“
- Bei nicht sinusförmigen periodischen Vorgängen liegt nach Fourier ein Spektrum von Frequenzen vor (konkret: ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz), sodass auch die Übertragungsfunktion G eine Funktion der Frequenz ist G=G(f). Jede Harmonische der Eingangsfunktion (u(t)) wird also in anderer Weise in die betreffende Harmonische der Ausgangsgröße (i(t)) übertragen. Das Netzwerk „verzerrt“ somit die Eingangsfunktion, d.h. die Kurvenform der Ausgangsfunktion wird eine andere sein, als die Kurvenform der Eingangsfunktion
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