Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck und am Einheitskreis
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Formeln
Winkelfunktionen am Einheitskreis
Betrachtet man die Winkelfunkionen ausschließlich im rechtwinkeligen Dreieck, dann beschränken sich die Winkel auf den Bereich zwischen 0° und 90°. Nachfolgend die Betrachtung der Winkelfunktionen am Einheitskreis, also einem Kreis mit dem Radius r=c=1, wodurch die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel zwischen 0° und 360° zugänglich werden.
Trigonometrischer Pythagoras
Der trigonometrische Satz des Pythagoras ist lediglich eine andere Formulierung vom Satz des Pythagoras. Setzt man im Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse c gleich 1 und drückt man die Längen der Katheten a, b durch die entsprechende trigonometrische Winkelfunktion Sinus bzw. Kosinus aus, so erhält man den trigonometrischen Pythagoras.
Satz des Pythagoras im rechtwinkeliges Dreieck:
\({c^2} = {a^2} + {b^2}\)
Setzt man nun \(c = r = 1\), so ergibt sich der Satz des Pythagoras am Einheitskreis wie folgt:
\(\eqalign{ & {r^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \cr & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr} \)
Dass man c=r=1 setzt, entspricht einer "Normierung" der drei Seiten, derzufolge die Länge der Hypotenuse c=r somit 100% entspricht und jede der beiden Katheten jeweils einem Wert kleiner gleich 100% entspricht.
Alternative, gleichwertige Schreibweisen
\(\eqalign{ & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr & {\left( {\sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha } \right)^2} = 1 \cr} \)
Illustration von den Zusammenhängen im rechtwinkeligen Dreieck und im Einheitskreis
Gegenüberstellung der Winkelfunktionen im rechtwinkeligen Dreieck und am Einheitskreis
Rechtwinkeliges Dreieck | Einheitskreis: Hypotenuse = 1 |
betrachtet wird ein rechtwinkeliges Dreieck | betrachtet wird ein Punkt am Einheitskreis, der in einem von 4 Quadranten liegen kann |
Satz des Pythagoras \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) |
Trigonometrischer Satz des Pythagoras \(\eqalign{ & {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \cr & {\left( {\sin \alpha } \right)^2} + {\left( {\cos \alpha } \right)^2} = 1 \cr} \) |
Rechnen mit Seiten Rechnen im Winkelmaß, wobei Vollwinkel = 360° |
Rechnen mit periodischen Funktionen Rechnen im Bogenmaß, wobei Vollwinkel = \(2 \cdot \pi \) |
Der Sinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht dem Verhältnis von der Gegenkathete zur Hypotenuse \({\text{Sinus }}\alpha {\text{ = }}\dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\) |
Der Sinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht der y-Koordinate von P |
Der Kosinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse \({\text{Kosinus }}\alpha {\text{ = }}\dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\) |
Der Kosinus vom Winkel \(\alpha \) entspricht der x-Koordinate von P |
a, b, c, \(\alpha \) | \(y = f(x) = \sin (x)\) |
Periodizität der Sinusfunktion
\(\sin x = \sin \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Sinusfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: pos | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: neg |
Periodizität der Kosinusfunktion
\(\cos x = \cos \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Kosinusfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: pos |
Periodizität der Tangensfunktion
Der Tangens wird an der Stelle abgelesen die einerseits auf jener Tangente liegt, die im Punkt (1│0) den Einheitskreis berührt und die andererseits auf dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt P liegt.
\(\tan x = \tan \left( {x + k \cdot \pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Tangensfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: pos | Q4: neg |
Periodizität vom Kotangens
Der Kotangens wird an der Stelle abgelesen die einerseits auf jener Tangente liegt, die im Punkt (0│1) den Einheitskreis berührt und die andererseits auf dem Strahl vom Ursprung durch den Punkt P liegt.
\(\cot x = \cot \left( {x + k \cdot \pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Kotangensfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: pos | Q4: neg |
Periodizität vom Sekans
Der Sekans entspricht dem Kehrwert von der Kosinusfunktion. Der Funktionswert entspricht der Länge jenes Sekantenabschnitts am Einheitskreis der vom Ursprung 0 bis zu jenem Punkt Q in unten stehender Grafik verläuft, an dem auch der Tangens abgelesen wird. Die Sekante verläuft dabei durch den Punkt P und den Ursprung 0.
\(\sec x = \sec \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Sekansfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: neg | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: pos |
Periodizität vom Kosekans
Der Kosekans entspricht dem Kehrwert von der Sinusfunktion. Der Funktionswert entspricht der Länge jenes Sekantenabschnitts am Einheitskreis der vom Ursprung 0 bis zu jenem Punkt R in unten stehender Grafik verläuft, an dem auch der Kotangens abgelesen wird. Die Sekante verläuft dabei durch den Punkt P und den Ursprung 0.
\(\csc x = \csc \left( {x + k \cdot 2\pi } \right)\,\,\,\,\,k \in {\Bbb Z}\)
Das Vorzeichen der Kosekansfunktion ist abhängig davon, in welchem Quadrant sich der Punkt P befindet
Q2: pos | Q1: pos |
Q3: neg | Q4: neg |
Illustration davon, wie sich die Winkelfunktionen am Einheitskreis geometrisch ergeben
Wichtige Winkelfunktionswerte
Folgende Winkelfunktionswerte kommen in der technischen Praxis häufig vor und sollten einem vertraut sein:
\({\alpha ^\circ }\) | rad | \({\sin \alpha }\) | \({\cos \alpha }\) | \({\tan \alpha }\) | \({\cot \alpha }\) |
0° | 0 | 0 | 1 | 0 | \({ \pm \infty }\) |
30° | \({\dfrac{\pi }{6}}\) | \({\dfrac{1}{2}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}\) | \({\sqrt 3 }\) |
45° | \({\dfrac{\pi }{4}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\) | 1 | 1 |
60° | \({\dfrac{\pi }{3}}\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\) | \({\dfrac{1}{2}}\) | \({\sqrt 3 }\) | \({\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}\) |
90° | \({\dfrac{\pi }{2}}\) | 1 | 0 | \({ \pm \infty }\) | 0 |
180° | \(\pi\) | 0 | -1 | 0 | \({ \pm \infty }\) |
360° | \({2\pi }\) | 0 | 1 | 0 | \({ \pm \infty }\) |
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 0° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 30° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 45° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 60° am Einheitskreis
Grafische Darstellung vom Winkelfunktionswert 90° am Einheitskreis
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