Winkelfunktionen
Winkelfunktion ist ein Oberbegriff für Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekand und Kosekans. Das sind Seitenverhältnisse im rechtwinekligen Dreieck,
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Formeln
Winkelbeziehungen im rechtwinkeligen Dreieck
Winkelfunktion ist ein Oberbegriff für Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans. Das sind Seitenverhältnisse im rechtwinkeligen Dreieck. Das rechtwinkelige Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite, die Hypotenuse. Die beiden an den rechten Winkel angrenzenden Seiten sind kürzer und heißen Katheten. Betrachtet man einen der beiden nicht rechten Winkel und nennt man ihn α so heißt jene Kathete die am Winkel α angrenzt die Ankathete und jene Kathete die dem Winkel α gegenüber liegt die Gegenkathete.
- Beachte: Die Bezeichnung Ankathete bzw. Gegenkathete hängt ausschließlich vom Winkel ab, auf den sich die Aussage bezieht. Ein und dieselbe kurze Seite vom Dreieck ist für den einen Winkel die Ankathete und für den anderen Winkel die Gegenkathete.
- Wichtig: Lerne daher bitte nie die Winkelfunktionen auf Basis der Bezeichnungen a,b oder c von den Dreieckseiten sondern immer mit den Bezeichnungen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse!
Sinus
Der Sinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Sinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\sin \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)
Kosinus
Der Kosinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kosinus des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\cos \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}}\)
Tangens
Der Tangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Tangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\tan \alpha = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)
Kotangens
Der Kotangens vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Ankathete zur Gegenkathete. D.h. kennt man die entsprechenden zwei Seiten vom rechtwinkeligen Dreieck, dann kann man den Kotangens des Winkels α als deren Quotienten berechnen.
\(\cot \alpha = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\tan \alpha }}\)
Sekans
Der Sekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Ankathete und somit der Kehrwert der Kosinusfunktion.
\(\eqalign{ & \sec \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{1}{{\cos \left( \alpha \right)}} \cr & {\sec ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\tan ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)
Kosekans
Der Kosekans ist im rechtwinkeligen Dreieck das Verhältnis von Hypotenuse zu Gegenkathete und somit der Kehrwert der Sinusfunktion.
\(\eqalign{ & \csc \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Hypotenuse}}}}{{{\text{Gegenkathete}}}} = \dfrac{1}{{\sin \left( \alpha \right)}} \cr & {\csc ^2}\left( \alpha \right) = 1 + {\cot ^2}\left( \alpha \right) \cr} \)
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Aufgaben
Aufgabe 1488
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vermessung einer unzugänglichen Steilwand
Ein Steilwandstuck CD mit der Höhe \(h = \overline {CD}\) ist unzugänglich. Um h bestimmen zu können, werden die Entfernung e = 6 Meter und zwei Winkel α = 24° und β = 38° gemessen. Der Sachverhalt wird durch die nachstehende (nicht maßstabgetreue) Abbildung veranschaulicht.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Höhe h des unzugänglichen Steilwandstücks in Metern!
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Aufgabe 1284
AHS - 1_284 & Lehrstoff: FA 6.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodizität
Die nachstehende Abbildung zeigt die Graphen f1, f2 und f3 von Funktionen der Form \(f\left( x \right) = \sin \left( {b \cdot x} \right)\)
\({f_1} = \sin \left( x \right);\) \({f_2} = \sin \left( {2x} \right);\) \({f_3} = \sin \left( {\dfrac{x}{2}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie jeweils die der Funktion entsprechende primitive (kleinste) Periode p!