Aufgabe 141
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{2{x^3} - 4x + 6}}{5}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
1. Teilaufgabe: Indem du zunächst den Bruch in Partialbrüche zerlegst und diese dann differenzierst
2. Teilaufgabe: Indem du den Bruch direkt differenzierst
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Für die 1. Teilaufgabe zerlegen wir den Bruch in Partialbrüche, die wir dann einzeln gemäß der Quotientenregel differenzieren.
Wir zerlegen in Partialbrüche
\(f(x) = \dfrac{{2{x^3} - 4x + 6}}{5} = \dfrac{{2{x^3}}}{5} - \dfrac{{4x}}{5} + \dfrac{6}{5};\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{2 \cdot 3{x^2} \cdot 5 - 0}}{{{5^2}}} - \dfrac{{4 \cdot 5 - 0}}{{{5^2}}} + 0 = \cr & = \dfrac{{2 \cdot 3 \cdot 5{x^2}}}{{{5^2}}} - \dfrac{{4 \cdot 5}}{{{5^2}}} = \cr & = \dfrac{{6{x^2} - 4}}{5} = \cr & = \dfrac{2}{5}\left( {3{x^2} - 2} \right); \cr}\)
Wir haben auf jeden einzelnen Bruch die Quotientenregel angewendet
Gemäß der Quotientenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
2. Teilaufgabe:
Für die 2 Teilaufgabe wenden wir direkt auf den Bruch gemäß der Angabe die Quotientenregel an
Diesmal differenzieren wir den ganzen Bruch auf einmal mit Hilfe der Quotientenregel:
\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{{2{x^3} - 4x + 6}}{5}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {6{x^2} - 4} \right) \cdot \left( 5 \right) - \left( {2{x^3} - 4x + 6} \right) \cdot \left( 0 \right)}}{{{5^2}}} = \dfrac{2}{5}\left( {3{x^2} - 2} \right); \cr}\)
Gemäß der Quotientenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = 2{x^3} - 4x + 6\) | \(u'\left( x \right) = 2 \cdot 3{x^2} - 4\) |
\(v\left( x \right) = 5\) | \(v'\left( x \right) = 0\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet in beiden Fällen:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{5}\left( {3{x^2} - 2} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt