Aufgabe 142
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} + 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Quotienten (Brüche) an.
\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} + 1}}; \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( 2 \right) \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {2x + 4} \right) \cdot \left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2} - 8x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{ - 2{x^2} - 8x + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \cr & = - 2 \cdot \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}; \cr}\)
Wir haben die Quotientenregel angewendet.
Gemäß der Quotientenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = \left( {2x + 4} \right)\) | \(u'\left( x \right) = 2\) |
\(v\left( x \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\) | \(v'\left( x \right) = 2x\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - 2 \cdot \dfrac{{\left( {{x^2} + 4x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.